猜押03 规律探究题（解答题必考题）（3类题型）（原卷版）-A4.docx
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猜押03规律探究题（解答题必考题）
考点
3年考题
考情分析
数式规律探究
2024年第18题
2022年18题
数式规律和图形规律探究问题的特点是:问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出图形有关的操作变化过程等，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.
图形与等式关系的规律探究
2023年第18题
图形规律探究
2021年18题
题型一数式规律探究
1．（2025·安徽合肥·一模）数学兴趣小组开展了一项探究活动，主题是“两个相邻奇数/偶数的平方差”．相关内容如下表所示：
类型
两个相邻奇数的平方差
两个相邻偶数的平方差
表示结果
___________
．．．．．．
．．．．．．
一般结论
___________
????
(1)完成上述表格内容；
(2)兴趣小组发现：这些形如（是正整数）的数都可以用两个相邻奇数/偶数的平方差来表示，分析过程如下：
①设两个相邻奇数分别为：（为正整数），
则：；
②设两个相邻偶数分别为：（为正整数），
则：___________
而能取到所有的正整数，由此可证明结论正确．
2．（2025·安徽宣城·一模）观察下列等式：
；
；
；
；
……
根据上述规律，回答下列问题：
(1)写出第5个等式：____________________；
(2)写出第个等式：____________________；并求出的值．
3．（2025·安徽宣城·一模）观察下列等式．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
……
按照以上规律，解答下列问题．
(1)写出第5个等式：．
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
4．（2025·安徽·一模）【观察思考】
观察下列各式．
…
【规律发现】
请根据你发现的规律完成下列各题：
（1）根据规律可得________（其中为正整数）；
【规律应用】
（2）计算：；
（3）①计算：；
②计算：．
5．（2025·安徽·模拟预测）数学兴趣小组开展深究活动，研究“能被3整除的数”．指导老师首先提出一个猜想：如果该数的各数位上的数的和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除．例：∵，21能被3整除，∴615432能被3整除．
对于此规律：兴趣小组的两位成员分别针对三位数、四位数进行了证明：
（i）星星同学对三位数进行了证明：
设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c．
∵，
∴若能被3整除，则该三位数能被3整除．
（ii）宁宁同学对四位数进行了证明：
设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，d．
∵
，
∴若能被3整除，则该四位数能被3整除．
(1)请写出横线上所缺内容．
(2)该兴趣小组继续探索一个四位数能被11整除的条件，证明过程如下：
……
请补充省略部分的推理过程，并写出四位数能被11整除的条件．
6．（2025·安徽阜阳·一模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了一个正整数的平方数问题．
(1)先研究偶数的平方数问题，过程如下：
，
，
，
，
按照以上规律，完成下列问题：
（）______________________；
（）猜想：______________________（n为正整数），并证明你的猜想；
(2)兴趣小组继续研究奇数的平方数问题，一个奇数的平方数可以写成，结合第（1）题的研究结果，请你猜想：______________________（为正整数）．
7．（2025·安徽蚌埠·一模）【观察思考】
观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：??；
第3个等式：；第4个等式：??；
【规律发现】
（1）第5个等式是；
（2）猜想第n个等式是(用含n的代数式表示)；
【规律论证】
（3）请证明猜想的第n个等式．
8．（2025·安徽合肥·一模）在数学活动课中，某兴趣小组研究一种公式，写出了下列几组等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
(1)根据上述等式规律：
（i）第4个等式为：；
（ii）第n个等式为：___________________．
(2)小组成员小明和小华进一步探索上述规律：
小明同学猜想，其中a，b为正整数．小华同学提出反对意见，并通过如下计算进行了证明：（①__________________）
不一定等于．
请你补全①中所缺内容，并直接写出当小明同学想成立时，a、b需要满足的数量关系．
9．（2025·安徽六安·模拟预测）观察下列各个等式的规律：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
用上述等式反映的规律，解答下列问题．
(1)请直接写出第5个等式：________．
(2)猜想第个等式（用含