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对数不等式链及其在导数压轴题中的应用

一．基本原理

；

.

二．典例分析

例1．（2022新高考2卷）已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，，求a的取值范围；

（3）设，证明：．

解析：（1）略.

（2）由当时，，得在区间内恒成立，即在区间内恒成立，在不等式中，

令,可得当时,,即,故当时,不等式成立.

当时，在区间内恒成立，即在区间内恒成立，满足题意.

当，即,则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.

（3）由于

，接下来

令，，可得，.

由上述不等式，，进一步求和可得：

，

即．

例2.（2022年全国甲卷）已知函数．

（1）若,求的取值范围；

（2）证明：若有两个零点，，则．

解析：（1），令，则，于是

.于是等价于在上恒成立，故.

（2）对数均值不等式

此时，有两个解，且.

此时，，两式相除，可得：.

于是，欲证只需证明：（对数均值不等式）.易证！

例4.（2021年新高考1卷）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

（2）解析：由于下面不等式组成立：以及

.下面我们用不等式放缩来完成证明：

，，整理可得：，即证得.

例5.设函数，已知是函数的极值点．

（1）求；

（2）设函数．证明:．

解析：（2）令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．当时，，所以，即，所以．当时，，同理可证得．

综上所述，当且时，，即．

例6（2023届湖北七市州联考T22）．已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若有3个零点，，，其中．

（ⅰ）求实数a的取值范围；

（ⅱ）求证：．

解析：（1）当时，，，则在恒成立，所以在单调递增，故的单调递增区间为，无单调递减区间．

（2）（ⅰ），，，则除1外还有两个零点，，令，当时，在恒成立，则，

所以在单调递减，不满足，舍去；当时，除1外还有两个零点，则不单调，所以存在两个零点，所以，解得，当时，设的两个零点为，则，，所以．当时，，，则单调递增；当时，，，则单调递减；当时，，，则单调递增；

又，所以，，而，且，

，且，所以存在，，

使得，即有3个零点，，．

综上，实数a的取值范围为．

证明：因为，所以若，则，所以．欲证，代入可得只需证明：

时，，构造函数证明.（区别于标准答案的直接构造，那谁想得到，消掉参数是解题方向）

当时，先证明不等式恒成立，设，

则，所以函数在上单调递增，于是，即当时，不等式恒成立．由，可得，因为，所以，即，两边同除以，得，即，所以．