2025年深入剖析抽屉原理奥数技巧与应用攻略.doc

奥数知识点解析之抽屉原理

第一步:初步理解该知识点的定理及性质

1、提出疑问：什么是抽屉原理？

２、抽屉原理有哪些内容呢?

【抽屉原理1】:将多于n件的物品任意放到ｎ个抽屉中,那么至少有一种抽屉中的物品不少于2件;

【逆抽屉原理】：从n个抽屉中拿出多于n件的物品,那么至少有2个物品来至于同一种抽屉。

【抽屉原理2】:将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一种抽屉中的物品不少于（m+1)件。

第二步:学习最具有代表性的題目

【例１】证明:任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。

【例2】对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除。

【总結】以上的例題都是在考察抽屉原理在整除与余数问題中的运用。以上的題目我們都是运用抽屉原理一来处理的。

第三步:找出处理此类问題的关键

【例3】从２、4、6、…、3０这1５个偶数中，任取９个数，证明其中一定有两个数之和是３4。

【例４】从1、2、3、4、…、19、2０这２0个自然数中,至少任选几种数,就可以保证其中一定包括两个数，它們的差是1２。

【例5】从１到2０这2０个数中，任取11个数,必有两个数,其中一种数是另一种数的倍数。

｛1，２，４，8,１6}

{3，６，１2｝,{5,10，2０}

{7，１4}，{9,1８}

{11},｛13},｛15}，｛1７},｛19}。

【总結】根据題目条件灵活构造“抽屉”是处理此类題目的关键。

第四步：重点处理该类型的拓展难題

我們先来做一种简朴的铺垫題：

【铺垫】請阐明,任意3个自然数，总有2个数的和是偶数。

【例6】請阐明,对于任意的1１个正整数,证明其中一定有6个数,它們的和能被６整除。

【总結】上面两道題目用到了抽屉原理中的“双重抽屉”与“合并抽屉”,都是在原有经典抽屉原理題目的基础上进行的拓展。

什么是抽屉原理?

（１）举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放,有的抽屉可以放一种,有的可以放两个,有的可以放五个,但最终我們会发現至少我們可以找到一种抽屉里面至少放两个苹果。

（2)定义

一般状况下，把ｎ+１或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必然至少有一种抽屉里至少有两个苹果。我們称这种現象為抽屉原理。

（一)、运用公式进行解題

苹果÷抽屉＝商……余数

余数：(1）余数=1，????????????????結论：至少有（商+１）个苹果在同一种抽屉里

(2)余数＝,?結论：至少有(商+1)个苹果在同一种抽屉里

(３)余数＝0,???????????????????????結论:至少有“商”个苹果在同一种抽屉里

（二）、运用最值原理解題

将題目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的題目变得非常简朴,也就是常說的极限思想“任我意”措施、特殊值措施．

举个例子:把3个苹果任意放到2个抽屉里，必有一种抽屉至少放了2个苹果。这个生活中最简朴的道理，在数学上就叫做抽屉原理。

应用抽屉原理可以处理诸多奇妙的问題，当然在实际问題中，“抽屉”和“物体”的表述是不明确的，解題的关键就是找出问題中哪个概念对应的是“抽屉”，哪个概念对应的是“物体”，精心制造“抽屉”是处理此类问題的关键。

【題目1】:

至少在多少个人中,才能找到两个同月份出生的人？

【解析】：

每年均有１2个不一样的月份,可以看着是１２个抽屉。人就看着苹果。

原題就相称于：多少个苹果放到12个抽屉里,可以保证至少有一种抽屉里有２个苹果?

１2+1=13(人）

因此至少在13个人中，才能找到两个同月份出生的人。

【題目2】:

在任意3个自然数中,与否其中必然有两个数,它們的和為偶数？為何？

【解析】:

我們先把奇数看作一种抽屉,把偶数看作一种抽屉。

自然数不是奇数就是偶数,那么这任意3个自然数不是奇数就是偶数,把这３个数放到上面奇、偶数两个抽屉里,至少有一种抽屉里有两个数，既3个自然数中有两个奇数或两个偶数必居其一。

假如３个数中有两个奇数，这两个奇数的和一定是偶数;假如3个数中有两个偶数，这两个偶数的和也一定是偶数。

因此在任意3个自然数中，其中必然有两个数，它們的和為偶数。

【題目3】：

班上有50名小朋友,老师至少要拿几本书，随意分給小朋友,才能保证至少有一种小朋友能得到不少于两本的书？

【解析】：

“保证至少有一种小朋友能得到不少于两本的书”意思就是:保证至少有一种小朋友至少得到两本书。

我們把５０个小朋友看着50个抽屉,至少要多少本书放到50个抽屉里，能保证至少有一种抽屉里至少有两本书呢：50＋1＝5１(本)。

【題目4】:

在1,2,3,…，99,100这100个整数中,选出某些数，使得任意两数的差都不等于1，2,6，那