信息论与编码（第三版）第7章信道编码技术.pptx

第7章信道编码技术;目录;2.4删余卷积码

7.3TCM码，级联码

7.4Turbo码和LDPC;编码定理;本章主要内容;7.1线性分组码;二元码：码字的元素取自于具有q个符号的符号集，当符号集只有两个元素0，1时，称为二元码，每个码字的元素称为比特；

非二元码：码字元素取值于q（q2）个元素的符号集；;举例;有限域的运算;乘法;线性分组码的码字都是由有限个元素的域构造的，这种域称为有限域，也称为伽罗华域(GaloisField);

每个域都至少有一个0元素和一个1元素；

最简单的域就是GF(2);;+;一般说来，有限域是由素数或者素数的幂构造的。

当是素数时，加法、乘法都是基于模q的算术运算。

如果q=pm，可以将域扩展为GF(pm)，此时称GF(pm)为GF(p)的扩域，扩域元素的加法、乘法运算都是基于p模的。;分组码的基本特点;假设为全0码字,即，同时wi用表示第个码字的重量，于是得到第i个码字与第1个码字之间的汉明距离为wi;

对于线性分组码而言，两个码字之差仍然是一个码字，所以两个码字之间的汉明距离就是另外一个码字的重量；所以码字重量分布完全描述了码的距离特性，码的最小距离为;线性分组码的讨论经常使用线性代数的许多基本概念，特别是所有n重集合形成一个矢量空间;

从S空间中选取kn个线性独立的子集，并构造出所有矢量的线性组合的集合，所产生集合形成S的k维子空间Sc;

任何k个线性独立的矢量集合构成空间Sc的一组基。

考虑中的矢量集合，它们与Sc的基中任何矢量都是正交的，这个矢量集合也是的一个子空间，称为的零空间；

如果的维数为k，零空间的维数应当为n-k。;对于二元分组码

矢量空间是由2k个二元值的n重构成的;

线性码（n,k）是2k个n重的集合，所有码字构成二元域子空间Sc;

Sc中共有2k个码字，Sc的基底有k个码字，这就是说需要2k个线性独立的码字去构造种线性组合，从而产生整个码。

Sc的零空间是另一种线性码，它是由码长为n，信息比特数为n-k的2n-k个码字所组成。;k比特信息的矢量表示形式为;其中称为该码的生成矩阵;{gj}必须是(n,k)码的基底。

由于n维空间的基矢量不是唯一的，G也不是唯一的，G的秩就是子空间的维数k;

(n,k)??的任何生成矩阵都可以通过行运算化为系统形式;系统形式生成矩阵所产生的线性分组码，其每个码

字的前k比特与k比特信息总是相同的，而剩余的n-k

是k比特信息的线性组合，所以这样产生的n-k比特

称为校验位。

系统矩阵产生的(n,k)分组码称为系统码。;生成矩阵产生的码字表示为;线性分组码编码公式为;线性(n,k)都存在对偶码;

对偶码共有2n-k个码矢量;

对偶码是(n,n-k)的线性分组码，生成矩阵用

H表示；

每个码字都是从零空间中选取，所以有;所以校验矩阵H为;可以得到三个校验方程;由于最小重量等于其最小距离d0，可以知道H的行

矢量与d0是相关的，换句话说，H中不存在大于d0-

1列向量是线性独立。

由于H的秩最大为n-k，所以有;例如，校验矩阵H为;扩展码;假设原始码字为（Cm1Cm2…Cmn）,那么扩展码应当为（Cm1Cm2…CmnCm(n+1)），根据CHeT＝0，最后一列为Cm1＋Cm2＋…＋Cmn＋Cm(n+1)＝0。

由此可见，增加的校验位就是进行奇偶校验。;码的缩减;7.1.2一些特殊的线性分组码

1.汉明码;由于校验矩阵包含除了全0列矢量以外的所有n重，所以通过置换一定可以得到具有下列形式的校验矩阵;举例;汉明码;7.1.3循环码;;等式两边同除多项式pn＋1，;循环码的生成多项式是pn＋1的因子，具有下列通用形式;例7.4讨论长度n＝7的循环码。;当4比特信息为（0010）时，对应的信息多项式为x(p)=p,码字多项式为;定义的倒数多项式为;信息位;1.4BCH码、RS码;;7.1.5线性分组码的硬判决译码;1．硬判决译码;假设传输的码字为Cm，接收的码字为Y，则有;差错矢量共有2n可能差错图样，但是只有2n-k可能伴随式;

结果是不同的差错图样具有相同的伴随式。

e与S之间是多对一的映射，而不是一一映射，所以出现译码错误在所难免;

对于在纠错能力范围的差错，应当保证译码的唯一性。;S的维数为(n-k),e的维数为n，所以方程S=eHT的解不是唯一的；

满足方程的解共有2k个，译码器只能挑选一个码字作为估计值；

挑选的原则：最小错误概率，当误码元率一定时，选择所有解中最小重量的差错矢量作为估计值。;例7.10利用生成多项式g(p)=p3+p+1构造的(7,4