专升本高等数学学习资料 习题集 07.doc

习题课七

选择题

1．若，则为（C）

（A）0；（B）6；（C）36；（D）。

解：

。

2．设，则（A）

（A）；（B）；（C）；（D）。

解：，

由此可见；

。

二、填空题

1．。

解：。

2．。

解：原式

。

3．。

解：这是数列的极限，不能直接利用洛必达法则。

解：设，则。

，

∵]

。

∴，。

4．带拉格朗日余项的一阶泰勒公式为

。

解：，，

，，

，即，。

三、求下列极限

1．.

解:（方法1）

。

（方法2）。

2．

解：∵，，

∴。

3．

解：

。

四、解答题

1.设，且当时，，又，求。

解：∵，∴连续。

∵，∴，。

，

而。

∴

2．求在带皮亚诺余项的和。

解：

，

又，

比较，有，故。

五、证明题

1．设，且，证明：。

证明：∵，∴二阶可导，从而连续，

∴，，

由泰勒公式得

，介于与之间。

∵，∴，∴。

2．设在上具有三阶连续导数，且，，，

证明，使得。

证明：∵，∴可选择在点展开。

（在与之间）。①

∵，，

∴在①中令和，得

（）②

（）③

③-②得，

从而④

∵在上连续，∴在上连续，

从而在上必有最大值和最小值，

∴，

再由介值定理，，使得。

由④得。

3．设连续，证明：对，有。

证明：由微分中值定理得

，

故

即①

又由泰勒公式知：

②

由①、②得，

∴，

∵连续，

∴。