湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二下学期第一学月阶段测试（2月）数学试卷.docx
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湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二下学期第一学月阶段测试（2月）数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B．
C． D．
2．若（为虚数单位），则（????）
A． B． C．2 D．
3．如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（????）
A． B． C． D．
4．若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（????）
A．36种 B．48种 C．96种 D．108种
5．在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若，则（????）
A． B． C． D．
6．函数，若在区间上是单调函数，且，则的值为（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知双曲线的左，右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（????）
A．1 B．0 C． D．
8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，且，，则(????)
A． B．
C． D．
10．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（????）
A． B．
C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是
11．定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（????）
A．，
B．的值是19
C．函数有三个零点
D．过只可以作两条直线与图象相切
三、填空题
12．的展开式中，所有项的系数和为．
13．已知圆与圆交于两点，且平分圆的周长，则的值为．
14．为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是．
四、解答题
15．现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．
(1)求；
(2)求．
16．如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上一动点.
(1)试确定点位置，使得平面；
(2)求点到平面距离的最大值.
17．设是等差数列，是等比数列，公比大于．已知．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列满足，若，求．
18．已知双曲线的方程为：，其左右顶点分别为：，，一条垂直于轴的直线交双曲线于，两点，直线与直线相交于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线，与轨迹交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，试探讨是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由.
19．设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
(1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
(2)已知，．证明：点是的0度点；
(3)求函数的全体2度点构成的集合．
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《湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二下学期第一学月阶段测试（2月）数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
A
C
A
C
B
ACD
ABD
题号
11
答案
ABD
1．C
【分析】直接根据并集