广西南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学试卷.docx
广西南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学试卷
一、选择题
1．若复数z满足，则()
A. B. C. D.
2．已知集合，，则()
A. B. C. D.
3．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是()
A. B. C. D.
4．设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为()
A. B. C. D.
5．若抛物线上一点A到准线及对称轴的距离分别是5和3，则p的值为()
A.1或8 B.1或9 C.2或8 D.2或9
6．设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数()
A. B.0 C.1 D.2
7．过点的直线l与曲线相切于点B，则()
A.1 B. C.2 D.
8．如图，正方形的边长为1，P、Q分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，()
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，边的中线，则下列结论正确的有()
A. B.
C.的面积为 D.的外接圆的面积为
10．在棱长为a的正方体中，点E为的中点，点P满足，，，则下列说法正确的是()
A.若，则平面
B.若，则平面ABP
C.若，则存在，使
D.若，则存在，使平面DPB
11．已知直线与椭圆交于A、B两点，、分别为椭圆的左、右焦点，M、N分别为椭圆的左、右顶点，关于直线l的对称点Q在椭圆上，则()
A.
B.若椭圆的离心率为，则直线MA，MB的斜率之积为
C.若直线BQ平行于x轴，则
D.若，则椭圆的离心率为
三、填空题
12．的展开式中的系数为________.
13．已知圆柱M的底面半径为3，高为，圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆柱M和圆锥N的体积相等，则圆锥N的外接球的表面积为________.
14．某志愿者协会安排甲、乙等5名志愿者到A、B、C三个社区进行志愿者服务，要求每个社区都要有志愿者去，且甲和乙都不能去A社区，则不同的安排方式有________种.（用数字作答）
四、解答题
15．已知双曲线C的中心为坐标原点O，且焦点在x轴上，点在双曲线C上，其一条渐近线方程为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点且倾斜角为的直线l与双曲线C交于M、N两点，求的面积.
16．已知正项数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)对，将数列中不大于的项的个数记为.若恒成立，求实数的取值范围.
17．等腰梯形ABCD中，，，，点E为中点（如图1）.将沿折起到的位置，点O，F分别为，的中点（如图2）.
(1)求证：平面平面；
(2)如果，平面平面，那么侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求平面与平面夹角的余弦值，若不存在，请说明理由.
18．甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：
①擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5；
②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失败，则挑战者成为新任擂主；
③当某位选手连续两次担任擂主（不包含初始擂主）时，比赛立即结束，该选手获得胜利.
(1)若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率；
(2)已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率；
(3)求甲成为最终获胜者的概率.
19．对于正整数n，定义函数，函数的导函数记为.
(1)求函数在区间上的零点；
(2)证明：当n为奇数时，函数在区间上至少存在2个极值点；
(3)证明：对于任意实数x，有，并指出等号成立时x的取值.
参考答案
1．答案：A
解析：由，
得.
所以.
故选：A.
2．答案：D
解析：对于集合A，由得，
所以或，所以.
故选：D.
3．答案：C
解析：因为，所以，，
，
所以.
故选：C.
4．答案：C
解析：假设等差数列的公差为d，
由得，，
所以，所以，故，
则
则.
故选：C.
5．答案：B
解析：设点A的坐标为，已知点A到对称轴的距离为3，
因为抛物线的对称轴为x轴，所以，则.
因为点在抛物线上，所以，
把代入可得，则.
抛物线的准线方程为，
已知点A到准线的距离为5，所以.
把代入可得.
去分母，得到.解得或.
故选：B.
6．答案：D
解析：令，定义域为R，
且，
则为偶函数.
由于曲线与恰有一个交点，
则只有唯一的零点，即，解得.
故选：D.
7．答案：B
解析：依题意，设，由，
则，则，
化简得，解得，故，
故.
故选：B.
8．答案：B
解析：设，，，，
则，，
于是，
又的周长为2，即，变形可得，
于是，
又，所以，
.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：由，
根据正弦定理得，，
整理得，因为，
所以得，解得，故A正确；
因为为边的中线，所以，
整理得，即，
又，解得或（舍），
所以，故B错误；
，故C正确；
根据余弦定理，，
即，解得，