广东省惠州市2025届高三下学期4月模拟考试数学试卷.docx
广东省惠州市2025届高三下学期4月模拟考试数学试卷
一、选择题
1．已知集合，，则()
A. B. C. D.
2．已知复数z满足，则()
A. B. C. D.
3．已知单位向量，满足，则与的夹角为()
A. B. C. D.
4．已知，，则()
A. B. C. D.
5．2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人.已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有()
A.9种 B.12种 C.15种 D.18种
6．如图，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则下列结论中错误的是()
A.平面平面 B.
C. D.平面
7．已知函数是定义域为R的偶函数，且为奇函数，若，则()
A. B.
C.函数的周期为2 D.
8．已知，均为锐角，且，则()
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知函数，则()
A.为偶函数 B.
C.无零点 D.在上单调递减
10．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.若抛物线的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另—点反射后，沿直线射出，则()
A.C的准线方程为
B.
C.若点，则
D.设直线与C的准线的交点为N，则点N在直线上
11．设随机变量X的所有可能取为1，2，3，…，n，且，，现定义，则下列说法正确的是()
A.若，则
B.若，则随着n的增大而增大
C.若，则的最小值为1
D.若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，且，则
三、填空题
12．在锐角中，，，则的值等于________.
13．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为________.
14．已知函数（，且），若恒成立，则的最小值为________.
四、解答题
15．已知数列的前n项和为，且.数列是公比为3的等比数列，且.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
16．体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.
(1)求甲同学通过测试的概率；
(2)若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X.求X的分布列与数学期望.
17．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段与x轴有公共点，求实数a的取值范围.
18．如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）.
(1)证明：；
(2)若.
（ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小；
（ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为，求的取值范围.
19．已知椭圆，，.椭圆C内部的一点，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N.M、N是不同的两点.
(1)若椭圆C的离心率是，求b的值；
(2)设的面积是，的面积是，若，时，求t的值；
(3)若点，满足且，则称点U在点V的左上方.求证：当时，点N在点M的左上方.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得.
故选：C.
2．答案：B
解析：由，
可得：，
故选：B
3．答案：C
解析：设与的夹角为，，
因为，，
所以，
所以，所以.
故选：C.
4．答案：D
解析：因为，
所以.
故选：D.
5．答案：D
解析：运用分类加法计数原理，若甲不入选，有（种）安排方法；
若甲入选，则有（种）安排方法，
所以共有（种）不同的安排方法.
故选：D.
6．答案：C
解析：对于A选项，由E，F分别为所在棱的中点得，
由正方体的性质易知，平面，平面，
所以，，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面，故A选项正确；
对于B选项，P为下底面的中心，故P为的中点，
因为M为所在棱的中点，所以，故B选项正确；
对于C选项，若，由B选项知，则有，
令一方面，由正方体的性质知为直角三角形，，
所以，不满足，故C选项错误；
对于D选项，由A选项知，由正方体的性质易知，
所以，平面，平面，
所以平面，故D选项正确.
故选：C
7．答案：D
解析：为奇函数，，
又为偶函数，，，故A项错误.
即，，函数的周期为4，