河北省邢台市宁晋县质检联盟2024-2025学年高二下学期3月第一次月考数学试卷（含解析）.docx
河北省邢台市宁晋县质检联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若函数满足，则（???）
A． B．4 C．1 D．2
2．已知函数，则（???）
A． B．
C． D．
3．如图，直线是曲线在点处的切线，则（???）
A．1 B．2 C． D．0
4．已知火箭发射秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为（???）
A． B．
C． D．
5．“”是“函数有极值”的（???）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知定义在上的函数满足，，其导函数满足，则（???）
A． B．16 C．12 D．24
7．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（???）
A． B．
C． D．
8．函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．函数的导函数的图象如图所示，则（???）
A．
B．
C．有2个极大值点，1个极小值点
D．的单调递减区间为，
10．若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是（???）
A． B．
C． D．
11．若，，，则（???）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若函数，则．
13．如果函数满足在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”．函数在上的“拉格朗日中值”为．
14．已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是．
四、解答题
15．已知函数．
(1)若曲线与轴相交于点，求该曲线在点处的切线方程；
(2)若曲线上点的切线与坐标轴围成的三角形面积为，求点的坐标．
16．已知函数．
(1)若在上不单调，求的取值范围；
(2)若，求在上的值域．
17．将一个边长为2分米的正八边形硬纸片的八个角截去八个全等的四边形，再把它沿虚线折起，如图所示，做成一个无盖的正八棱柱纸盒（忽略纸片厚度）．（参考数据：）
??
(1)试把该正八棱柱纸盒的容积（单位：立方分米）表示为盒底正八边形边长（单位：分米）的函数．
(2)试问当盒底正八边形边长为何值时，这个正八棱柱纸盒的容积最大？容积的最大值是多少立方分米？
18．已知函数，，．
(1)求的单调区间．
(2)若的最大值为1，证明：对任意的，．
(3)当时，若恒成立，求实数的取值范围．
19．若连续函数的极值点是函数的零点，为函数的导函数，且存在实数满足，则称是的强化原生函数，记的最大值为，则为的强化原生系数．已知函数．
(1)设函数，证明有唯一极值点，并求出满足的整数的值．
(2)设函数，函数．已知是的强化原生函数．
（i）证明：．
（ii）求的强化原生系数的最小值．
《河北省邢台市宁晋县质检联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
B
B
D
B
C
BCD
ABD
题号
11
答案
BCD
1．C
解析：.
故选：C.
2．B
解析：因为，则.
故选：B.
3．A
解析：由图可知，切线过点，所以切线的斜率为，
又由导数的几何意义知.
故选：A
4．B
解析：，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为.
故选：B.
5．B
解析：，
所以，
若函数有极值点，则方程的判别式大于，
即，整理得：，
解得，所以是函数有极值的充要条件，
所以“”是“函数有极值”的充分不必要条件.
故选：B
6．D
解析：根据，构造函数，
由，则,
则，
令，则，
令，则.
故选：D.
7．B
解析：由，得，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即，，整理得：，，
令，，则，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极小值，且为最小值，
所以.
故选：B
8．C
解析：令，则，
，，即在R上单调递减，
又，则不等式等价于，
，即，
，解得.
所以不等式的解集为.
故选：C.
9．BCD
解析：对A，由图知当时，，此时单调递减，则，故A错误；
对B，当时，，此时单调递增，则，故B正确；
对C，由图知，当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，则为的极大值点；
，当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，则为的极小值点；
，当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，则为的极大值点；
则有2个极大值点，1个极小值点，故C正确；
对D，当时，，当时，，
则的单调递减区间为，，故D正确.