湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024−2025学年高二下学期 数学独立作业2（含解析）.docx
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024?2025学年高二下学期数学独立作业2
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知的一个极值点为2，则实数（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若，则（）
A． B．6 C．3 D．-3
3．已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（）
??
A． B．
C． D．
4．已知函数，则（）
A．0 B． C．2025 D．4050
5．若函数在上有且仅有两个极值点，则的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
6．已知函数，记则的大小关系为（????）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．已知函数在区间内任取两个实数p、q，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，下列说法正确的是（????）
A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为
C．的极大值为 D．方程有1个不同的解
10．函数，则下列说法正确的是（????）
A．当时，的极小值为
B．为奇函数
C．当时，一定有三个零点
D．若直线与有三个交点，则
11．如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（）
A．有对称轴
B．上任意两点间的距离
C．直线被截得弦长的最大值为
D．的面积大于
三、填空题（本大题共3小题）
12．若曲线与曲线相切，则．
13．函数在上单调，则的取值范围是.
14．已知实数满足，则.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数在处取得极值.
(1)求函数的解析式及单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值.
16．某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm.
(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？
17．已知函数.
(1)若函数，求的单调区间；
(2)若有两个都小于0的极值点，求实数a的取值范围.
18．在直角坐标系中，点到点的距离比到轴的距离大，记动点的轨迹为
(1)求的方程;
(2)过上一点P作抛物线的两条切线，切点分别为M，
（ⅰ）设，若，，求P点坐标;
（ⅱ）设两直线PM、PN与C在x轴上方包括x轴的交点分别为P，Q，R或，，，，记三角形PQR和四边形STQR面积分别为，，若，恒成立，求的最大值.
19．在我们学习导数的过程中，对数、指数函数模型十分重要.已知若，与在上，则有.现有，回答下列问题：
(1)当时，证明；
(2)上有三点（均不为且），满足成等差数列且.
（i）若不存在三点，使成等差数列，求的取值范围；
（ii）若，证明：.
参考答案
1．【答案】B
【详解】，令0，得或，
又的一个极值点为2，则，解得，经检验满足题意.
故选B.
2．【答案】C
【详解】.
故选C.
3．【答案】B
【详解】1.当时，此时不等式等价于.
从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象，在上单调递增，即此时当时，满足题意.
2.当时，此时不等式等价于.
由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象，在上单调递减，即此时当时，，满足题意.
综上，不等式的解集是，
故选B.
4．【答案】B
【详解】因为，
则，
故.
故选B.
5．【答案】C
【详解】当时，，若在上有且仅有两个极值点，则由的图像可得，解得.
??
故选C.
6．【答案】B
【详解】∵函数定义域为，，
∴为奇函数，故.
由题意得，.
∵，当且仅当时等号成立，，
∴，即在上单调递增.
∵，
∴.
故选B.
7．【答案】C
【详解】由题，方程有两个实数根，即，
所以且图象有两个交点，
设，则，令，解得，
当在上单调递减，
当在上单调递增，
所以有极小值，
当时，且，当时，，
作出函数的大致图象，
故，解得.
故选C.
8．【答案】B
【详解】因为的几何意义为：
表示点与点连线的斜率，
因为实数，在区间，故在区间内，
不等式恒成立，
所以函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在内恒成立，
由函数的定义域，
所以在内恒成立，
即在内恒成立，
由于二次函数在上是单调增函数，
故时，在上取最大值为15，
故实数a的取值范围为.
故选B.
9．【答案】CD
【详解】对于A，由，得，则，
所以在处的切线方程为，故