《上海交通大学随机过程课件》.ppt

上海交通大学随机过程课程介绍随机过程是上海交通大学理工科专业的重要基础课程，它将概率论的基本概念扩展到时间维度，为研究随机现象的动态演化提供了理论基础。本课程定位为专业核心课程，广泛应用于通信工程、人工智能、金融工程、生物医学等众多前沿领域。作为数学基础课程与应用学科的桥梁，随机过程既是学习高等专业知识的必要前提，也是未来科研、工程实践的重要工具。通过本课程学习，学生将掌握用随机思维分析复杂系统的能力，具备在不确定环境下进行量化决策的科学素养。

教师与参考教材教学团队张教授：随机过程理论专家，具有丰富的教学经验和科研背景。办公地点位于上海交通大学闵行校区数学科学学院5号楼307室。邮箱：zhang@sjtu.edu.cn李助教：负责课程习题辅导与答疑。每周四下午3-5点在数学楼203室举行答疑活动。微信答疑群：SJTU-随机过程2023教材与参考书主教材：《随机过程》第四版，钱敏平、龚光鲁编著，高等教育出版社

课程学习目标融会贯通将随机过程理论与实际应用相结合问题分析建立随机模型并使用适当方法求解理论基础掌握随机过程的基本概念与性质本课程旨在培养学生扎实的随机过程理论基础，使学生能够理解并掌握泊松过程、马尔可夫过程、布朗运动等典型随机过程的数学特性和应用背景。通过课程学习，学生将具备运用概率统计方法分析复杂系统的能力，能够构建适当的随机模型并选择合适的方法进行求解。

前置知识回顾：概率论随机变量基础随机变量是定义在样本空间上并取值于实数集的函数，是概率论研究的核心对象。根据取值特点，可分为离散型和连续型随机变量。离散型：如二项分布、泊松分布、几何分布连续型：如均匀分布、指数分布、正态分布分布函数性质分布函数F(x)=P(X≤x)是描述随机变量分布特点的重要工具，具有单调不减、右连续、极限等基本性质。F(-∞)=0，F(+∞)=1F(x+0)=F(x)x1期望与方差期望E(X)表征随机变量的平均水平，方差D(X)度量随机变量的离散程度。这些数字特征是研究随机过程的重要工具。期望线性性：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

条件期望与相关性质条件期望定义对于随机变量X和Y，X关于Y的条件期望E(X|Y)是Y的函数，表示在已知Y值的条件下X的平均水平计算公式离散情况：E(X|Y=y)=∑xP(X=x|Y=y)连续情况：E(X|Y=y)=∫xf(x|y)dx重要性质全期望公式：E(X)=E[E(X|Y)]条件期望的线性性：E(aX+bZ|Y)=aE(X|Y)+bE(Z|Y)条件期望是构建随机过程模型的重要工具，尤其在预测、滤波等问题中有广泛应用。通过条件期望，我们可以将复杂问题分解为在特定条件下的简单问题，再综合各种可能的条件得到总体结果。这种分而治之的思想是处理随机问题的核心方法之一。

随机过程概述基本定义随机过程是参数集上的随机变量族{X(t),t∈T}，其中T为参数集，通常表示时间。每个固定的t对应一个随机变量X(t)，而每次试验得到的函数X(t,ω)称为样本函数或轨道。维度扩展从随机变量到随机过程是概率论的维度扩展，引入了时间维度，使我们能够研究随机现象的动态演化规律。实际背景随机过程广泛应用于物理、生物、经济、金融、通信等领域，用于描述具有随机性的动态系统。随机过程是研究随机现象时间演化规律的数学模型。与随机变量不同，随机过程强调的是随机现象随时间变化的整体特性。例如，股票价格在单一时刻可视为随机变量，而其价格随时间变化的整体走势则是一个随机过程。

随机过程分类按参数空间分类参数空间T通常表示时间，根据T的不同可将随机过程分为：1.离散时间过程：T为可数集，如T={0,1,2...}，典型例子是离散时间马尔可夫链2.连续时间过程：T为连续区间，如T=[0,+∞)，典型例子是布朗运动、泊松过程按状态空间分类状态空间S表示随机过程取值的集合，根据S的不同可将随机过程分为：1.离散状态过程：如泊松过程，状态空间为非负整数集2.连续状态过程：如布朗运动，状态空间为实数集R按记忆性分类根据过程对历史信息的依赖程度，可分为：1.无记忆过程：未来状态只依赖当前状态，如马尔可夫过程2.有记忆过程：未来状态依赖历史信息，如自回归过程不同类型的随机过程具有不同的数学性质和适用范围。例如，离散时间马尔可夫链适用于建模具有离散状态转移特性的系统，如天气变化、机器状态转换等；而连续时间随机过程则适用于建模粒子运动、金融资产价格波动等连续变化的现象。

常见随机过程举例排队模型描述顾客到达、等待和接受服务的随机过程。广泛应用于计算机网络、呼叫中心、超市收银等场景。核心参数包括到达率λ、服务率μ和服务台数量。生灭过程描述系统中个体数量变化的连续时间马尔可夫过程。广泛应用于人口统计、生物种群、通信网