行列式的基本性质.ppt

行列式的基本性质第1页，共51页，星期日，2025年，2月5日

也就是:若则第2页，共51页，星期日，2025年，2月5日

(1).当位于第一行第一列的情形,即证明:先证由定义,按第一行展开得(2).再证一般情形(第i行除外,其它元素全为零),此时第3页，共51页，星期日，2025年，2月5日

得第4页，共51页，星期日，2025年，2月5日

其中得第5页，共51页，星期日，2025年，2月5日

第6页，共51页，星期日，2025年，2月5日

于是证毕.定理一.行列式等于它的任一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和，即行列式按行（列）展开法或证明:把行列式D的第i行的每个元素按下面的方式拆成n个数的和,再根据性质3,可将D表示成n个行列式之和:第7页，共51页，星期日，2025年，2月5日

引理第8页，共51页，星期日，2025年，2月5日

证毕.同理,若按列证明,可得推论.行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证明:不妨设i＜j,考虑辅助行列式第9页，共51页，星期日，2025年，2月5日

←第i行←第j行其中第i行与第j行对应元素相同,又将按第j行展开,有于是得第10页，共51页，星期日，2025年，2月5日

上述证法按列进行,同理可得证毕.小结:关于代数余子式的性质有:(1).(2).或简写成:第11页，共51页，星期日，2025年，2月5日

题设阶行列式求第一行各元素的代数余子式之和第12页，共51页，星期日，2025年，2月5日

例1.利用定理一计算前面的例1解:D第13页，共51页，星期日，2025年，2月5日

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例2.计算0000解:按第一行展开,有第15页，共51页，星期日，2025年，2月5日

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递推公式第17页，共51页，星期日，2025年，2月5日

(按第一行展开)记住这类解法!第18页，共51页，星期日，2025年，2月5日

例3.证明范德蒙(Vandermonde)行列式说明:第19页，共51页，星期日，2025年，2月5日

关于范德蒙行列式注意两点形式——↓按升幂排列，形成等比数列,且从0次方开始；结果——共n(n-1)/2项的乘积,可正可负可为零.对于范德蒙行列式,我们的任务就是：利用它计算行列式因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.第20页，共51页，星期日，2025年，2月5日

▋▋▋如第21页，共51页，星期日，2025年，2月5日

下面我们来证明范德蒙(Vandermonde)行列式.证明:用数学归纳法.因为第22页，共51页，星期日，2025年，2月5日

第23页，共51页，星期日，2025年，2月5日

按归纳法假设,有故第24页，共51页，星期日，2025年，2月5日

２利用范德蒙行列式计算例４计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。第25页，共51页，星期日，2025年，2月5日

解第26页，共51页，星期日，2025年，2月5日

上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知第27页，共51页，星期日，2025年，2月5日

题：计算第28页，共51页，星期日，2025年，2月5日

７用数学归纳法例5证明第29页，共51页，星期日，2025年，2月5日

证对阶数n用数学归纳法第30页，共51页，星期日，2025年，2月5日

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评注第32页，共51页，星期日，2025年，2月5日

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计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．小结第34页，共51页，星期日，2025年，2月5日

§3克莱姆法则一、克莱姆法则二、齐次线性方程组有 非零解的充要条件第35页，共51页，星期日，2025年，2月5日

(14)定理二（克来姆法则）设线性方程组的系数行列式一、克莱姆法则(15)第36页，共51页，星期日，2025年，2月5日

则线性方程组(14)有唯一解:(16)其中(第i行)(第j列)第37页，共51页，星期日，2025年，2月5日

证明:先验证(16)是(14