共形映射的概念.pptx

复变函数

第一节共形映射的积念

一、两曲线的夹角

二、解析函数导数的几何意义

三、共形映射的概念

四、小结与思考

正向：t增大时，点z移动的方向.

如果规定：

割线p₀p正向对应于t

增大的方向，那么PoP

同向.

一、两曲线的夹角

z平面内的有向连续曲线C可表示为：

z=z(t),(α≤t≤β)

如果z(t₀)≠0,αtoβ,

那么表示z(t₀)的向量

与C相切于点z=z(t₀).

当时，

PoP—→C上po处切线

方向与C一致.

1.Argz(t₀)就是C上点z₀处的切线的正向与

x轴正向之间的夹角.

若规定z(t₀)的方向(起点为z₀)为C上点z。

处切线的正向，则有

2.相交于一点的两条曲线C₁与C₂正向之间

的夹角，就是C₁与C₂在交点处的两条切线正向之间的夹角.C₁:z=z₁(t),C₂:z=z₂(t);

z=z₁(t₀)=z₂(t₀).

二、解析函数导数的几何意义

设w=f(z)在区域D内解析，zo∈D,且f(zo)≠0.

1.Argf(zo)的几何意义

C:z平面内过zo的有向光滑曲线，参数方程：

z=z(t),(α≤t≤β);

正向：t增大的方向；且z=z(t₀),

z(t₀)≠0,αzβ.

映射w=f(z)将C映射成w平面内过wo=f(zo)

的有向光滑曲线T,其参数方程为

w=f[z(t)],αzβ,正向：t增大的方向.

T

Wo

X

U

w=f(z)

C

x

个(z)

z(t₀)

Z0

0

^y(w)

0

因为w=f[z(t)](a≤t≤β)

所以w(to)=w(),==f(zo)z(to)≠0,

(即T上点w。处切线存在)

一Argw(t₀)=Argf(z₀)+Argz(to)

或Argf(z₀)=Argw(to)-Argz(to)

T在w,处切线的倾角

C在z₀处切线的倾角

定义为：曲线C经w=f(z)映射后在z的转动角

说明：转动角的大小与方向跟曲线C的形状无关.

映射w=f(z)具有转动角的不变性.

C₁→T₁Argf(z₀)=Argw(t₀)-Argzi(t₀)

C₂→T₂Argf(zo)=Argw₂(t₀)-Argz2(t₀)

经w=f(z)映射

则有

Argw(to)-Argzi(t₀)=Argw2(t₀)-Argz2(t₀)

T₁与T₂在w。的夹角C₁与C₂在zo的夹角

结论：相交于点z的任意两条曲线C₁与C₂之间

的夹角在其大小和方向上都等同于经过w=f(z)

映射后跟C₁与C₂对应的曲线T₁与T₂之间的夹角.

映射w=f(z)具有保持两曲线间夹角的大小和方向不变的性质，此性质称为保角性.

个y(z)

z(t₀)

Po

Z₀

0

令z-zo=rei,w-wo=pei.

w=f(z)

p

ZC

2.f(z₀)的几何意义

X0X

^y(w)

△s

r

结论：f(zo)是经过映射w=f(z)后通过点z的

的任何曲线C在z的伸缩率，它与曲线C的形状及方向无关.所以这种映射又具有伸缩率的不变性.

综上所述，有

定理一

设函数w=f(z)在区域D内解析，z。为D内一点，

且f(z)≠0,那末映射w=f(z)在z。具有两个性质：(1)保角性；(2)伸缩率不变性.

三、共形映射的概念

定义设w=f(z)在z₀的邻域内是解析的，在z₀具有保角性和伸缩率不变性，那末w=f(z)在zo是共形的，或称w=f(z)在z是共形映射.

也称为第一类共形映射.

说明：如果映射w=f(z)具有伸缩率不变性，

但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反，

则称之为第二类共形映射.

∴△w≈|f(z₀)|△z|(忽略高阶无穷小)

那么圆：

(忽略高阶无穷小)

这就是为什么称共形映射的原因.

设w=f(z)z∈D

zo∈Dwo=f(z₀)f(z₀)≠0

问题：

关于实轴对称的映射w=7是第一类共形映射吗?

答案：否.将z平面与w平面重合观察，

夹角的绝对值相同

而方向相反.

C₁

C₂

x(u)

T₂

↑y(V)

Z

0Z

α

(z)=(w)

T₁

-α

例试求映射w=f(z)=z²+2z在z=-1+2i