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CT重建中投影矩阵模型研究综述

摘要：CT重建算法中，投影矩阵反映探测器上的投影与重建物体的关系，其模型刻画对于重建速度和精度有着重要影响。本文介绍目前投影矩阵研究现状，着重分析投影矩阵系数的计算方法，以及快速计算正投影和反投影的方法，并总结了目前投影矩阵模型的性能和发展。

关键词：CT重建；投影矩阵

计算机断层成像（ComputedTomography，CT）技术对人类认知物体内部结构能力的提升起着极大的扩展作用，并且具有非接触、无损、分辨率高等优点，在医学诊断、工业无损检测和安全检查等领域[1]应用极为广泛。

在CT成像系统中，重建算法起着至关重要的作用。投影矩阵反映了投影图像与重建图像的关系，其计算模型是重建算法的核心问题之一。简单投影矩阵模型会导致重建图像存在误差、伪影，从而降低空间分辨率[2]。过于复杂的投影矩阵模型又会导致重建计算量剧增。

近年来针对投影矩阵国内外学者做了大量的研究工作，所提出的各种模型和方法在理论或实际重建工作中取得了一些较好的效果。一般来说，投影矩阵刻画得越精细，重建图像越准确，但投影计算的工作量则越大，重建时间也越长。针对上述实际问题，如何平衡重建图像的精确性和计算量是当前投影矩阵研究的目标。

1CT重建基本原理

CT系统成像基本模型可以描述成：

Wf=p（1）

其中，p∈P（P表示投影空间），f∈F（F表示图像空间），W:F→P表示投影算子。而实际研究当中，又可以将CT系统划分为三种问题[3]：连续-连续问题（f和p是函数），离散-离散问题（f和p是向量），连续-离散问题（f是函数p是向量）。

在CT重建算法中，解析类重建算法建立在连续-连续模型上，基于Radon变换反演的闭合公式进行推导求解。迭代重建算法建立在离散-离散模型上，利用成像过程中重建图像

与投影图像之间的关系建立代数方程组，并通过已知投影图像对未知重建图像进行迭代求解。连续-连续模型可以归结于求解积分公式，而离散-离散模型则为求解一个大型的线性方程组。CT系统的算子W表示物体与投影之间的关系，与成像的几何结构和物理效应等因素有关。连续-连续模型中，若将这些因素放到积分公式中，不一定能够得到闭合形式的解。离散-离散模型中，投影算子W可以为矩阵形式，能够实现对真实的成像几何结构和物理效应等因素进行模型化[4]。

离散-离散模型中，对二维图像进行网格离散化，每一个单元称为像素；三维图像进行立方体离散化，每一个单位称为体素。探测器上将采集数据的每个单元称为探元，而每个探元将得到射线穿过物体产生的投影。在CT系统中，X射线从光源发出，穿过物体投射到平行于X轴的探测器上，重建物体的每一个体素值用f(x,y,z)，探测器上的探元得到的投影值用p(s,t)表示，x、y、z、s、t代表了具体的坐标值，如图1所示。

图1锥束CT投影示意图

Fig.1DiagramofCTprojectionmodelincone-beamgeometry

离散-离散模型的实质是一个大型的方程组，求解该大型方程组通常采用迭代的方法。迭代重建算法主要包括代数迭代重建方法和统计迭代重建方法[5]。无论是哪种方法，其共同点都基于迭代来重建图像。具体迭代过程如下：

（1）通过系统矩阵计算出原图像或上一轮迭代解的投影值（Wf=p）；

（2）将计算得到的投影值与实际测量所得到的值进行比较；

（3）通过校正项对比较结果进行反投影（WTp=f）以更新图像。

如此投影与反投影交替进行，直至取得满意的重建图像为止。每一次迭代过程中，正投影和反投影的计算精确性会直接影响最终的求解结果。在整个迭代算法中，正投影和反投影占有了很大的计算量，而快速计算投影矩阵系数求出投影值和反投影值对整个算法执行效率也有着重要影响。

2投影矩阵的刻画模型

2.1投影矩阵简介

迭代重建算法中，投影矩阵W是影响重建图像和投影图像的重要因素，并且对能否较好地解决好重建问题至关重要。不同的模型会使得投影矩阵的性质有所不同，其结果也会影响重建的性能。例如文献[6]中提出系统矩阵的条件数对于问题的不适定性影响较大，条

件数越大，不适定性就越严重。

投影矩阵的模型刻画一般考虑两个方面：重建物体的离散模型、射线与物体的作用关系；重建物体的离散模型一般是以网格像素（二维图像）或立方体体素（三维图像）的形式进行刻画，而其他的模型主要是以不同的基函数插值的方式进行刻画。射线与物体作用关系则常