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模型34角平分线全等模型之对角互补

跟踪练习

1.(1)结合图1中的四边形，证明四边形的外角和是360°；

(2)如图2,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ABC+∠ADC=180°,E为DB的中点,求证:CE⊥BD.

2.四边形ABCD若满足∠A+∠C=180°，则我们称该四边形为对角互补四边形.

(1)若四边形ABCD为对角互补四边形,且∠B:∠C:∠D=2:3:4,则∠A为°;

(2)如图1,四边形ABCD为对角互补四边形,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD.

求证:AC平分∠BCD.

小云同学是这么做的：如图1，延长CD至M,使得DM=BC,连接AM,可证明△ABC≌△ADM,得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD.由上述证明过程可得CB，CD，CA三者的数量关系为；

(3)如图2,四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°,AB=AD,试证明:

①AC平分∠BCD;

②CA=CB+CD.

如图3,四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠ABC=60°,AD=CD,则BA,BC,BD三者的数量关系为.

1.解析:(1)证明:∵∠1=180°?∠ABC,

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180

∵四边形ABCD的内角和是360°,

∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°,

∴四边形的外角和是360°.

(2)证明:过点C作CF⊥AB交AB于点F,过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，如图所示.

∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDG=180°,∴∠CDG=∠ABC.

∵AC平分∠BAD,∴CG=CF.

∵∠G=∠CFB=90°,

∴△CDG≌△CBF(AAS),∴CD=BC,

∵E为DB的中点,∴CE⊥BD.

2.解析:(1)90提示:∵四边形ABCD为对角互补四边形,∴∠B+∠D=180°,

∵∠B:∠C:∠D=2:3:4,

∴∠B=18

∴∠C=90°,∴∠A=90°.

2CD+CB=

∴∠DAM+∠CAD=∠CAM=90°,

∴△ACM是等腰直角三角形，

∴CM=

∴CD+CB=

(3)证明:①如图1,延长CD至点M,使DM=BC,连接AM.

∵四边形ABCD为对角互补四边形，

∴∠B+∠ADC=180°,

又∵∠ADC+∠ADM=180°,

∴∠ADM=∠B,

又∵AB=AD,BC=DM,

∴△ABC≌△ADM(SAS),

∴AC=AM,∠ACB=∠M,∠BAD=∠CAM.

∵∠BAD=60°,∴∠CAM=60°,

∴△ACM是等边三角形，

∴∠ACM=∠M=60°,

∴∠ACB=60°,∴∠ACB=∠ACD,

∴AC平分∠BCD.

②由①得AC=CM,BC=DM,∴CM=CD+DM=CD+BC,∴CA=CB+CD.

4BA+BC=

∵四边形ABCD为对角互补四边形，

∴∠A+∠BCD=∠BCD+∠DCM=180°,

∴∠A=∠DCM,

又∵AB=CM,AD=CD,

∴△ADB≌△CDM(SAS),

∴BD=MD,∠ADB=∠CDM,

∵∠ABC=60°,∴∠ADC=120°,

∴∠BDM=120°,∴∠M=∠DBM=30°.

过点D作DN⊥BM于点N,

则点N为BM的中点,∴BM=2MN.

在Rt△DNM中,可得MN=

∴MN=

又∵BM=BC+CM,

∴BC+AB=