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初中奥数竞赛题及答案

选择题

1.若$a$、$b$互为相反数，$c$、$d$互为倒数，$m$的绝对值为$2$，则$\frac{a+b}{m}+m^2cd$的值是（）

A.$3$B.$3$C.$5$D.$3$或$5$

答案：B

解析：因为$a$、$b$互为相反数，所以$a+b=0$；$c$、$d$互为倒数，所以$cd=1$；$m$的绝对值为$2$，则$m=\pm2$，$m^2=(\pm2)^2=4$。将这些值代入$\frac{a+b}{m}+m^2cd$可得：$\frac{0}{m}+41=0+41=3$。

2.已知三角形的三边长分别为$2$、$x$、$10$，若$x$为正整数，则这样的三角形个数为（）

A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$

答案：A

解析：根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，可得$102\ltx\lt10+2$，即$8\ltx\lt12$。因为$x$为正整数，所以$x$可以为$9$、$10$、$11$，又因为当$x=9$时，$2+9=11\gt10$，$102=8\lt9$；当$x=10$时，$2+10=12\gt10$，$102=8\lt10$；当$x=11$时，$2+11=13\gt10$，$102=8\lt11$，但三角形的三边长分别为$2$、$x$、$10$，当$x=9$，$11$时，三边不满足唯一性（可通过全等三角形判定理解），只有$x=10$时符合，所以这样的三角形个数为$1$。

填空题

1.若$x^2+mx+9$是一个完全平方式，则$m$的值是_____。

答案：$\pm6$

解析：因为$x^2+mx+9$是一个完全平方式，完全平方公式为$(a\pmb)^2=a^2\pm2ab+b^2$，在$x^2+mx+9$中，$a=x$，$b^2=9$，则$b=\pm3$，那么$mx=\pm2\timesx\times3=\pm6x$，所以$m=\pm6$。

2.已知一次函数$y=(m2)x+3m$，当_____时，$y$随$x$的增大而减小。

答案：$m\lt2$

解析：对于一次函数$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$），当$k\lt0$时，$y$随$x$的增大而减小。在一次函数$y=(m2)x+3m$中，$k=m2$，所以当$m2\lt0$，即$m\lt2$时，$y$随$x$的增大而减小。

判断题

1.相等的角是对顶角。（）

答案：错误

解析：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。例如，两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角，所以该说法错误。

2.三角形的外角和是$360^{\circ}$。（）

答案：正确

解析：任意多边形的外角和都是$360^{\circ}$，三角形是多边形的一种，所以三角形的外角和是$360^{\circ}$，该说法正确。

解答题

1.已知方程组$\begin{cases}2x+y=5m+6\\x2y=17\end{cases}$的解$x$、$y$都是正数，求$m$的取值范围。

答案：$m\gt\frac{2}{5}$

解析：

首先由方程$x2y=17$可得$x=2y17$。

把$x=2y17$代入$2x+y=5m+6$中，得到$2(2y17)+y=5m+6$。

展开括号：$4y34+y=5m+6$。

合并同类项：$5y=5m+40$，解得$y=m+8$。

把$y=m+8$代入$x=2y17$，得$x=2(m+8)17=2m+1617=2m1$。

因为$x$、$y$都是正数，所以$\begin{cases}2m1\gt0\\m+8\gt0\end{cases}$。

解不等式$2m1\gt0$，移项得$2m\gt1$，解得$m\gt\frac{1}{2}$；解不等式$m+8\gt0$，解得$m\gt8$。

综合两个不等式的解，取交集得$m\gt\frac{1}{2}$，即$m\gt\frac{2}{5}$。

2.如图，在$\triangleABC$中，$\angleB=40^{\circ}$，$\angleC=60^{\circ}$，$AD$平分$\angleBAC$，交$BC$于点$D$，求$\angleADC$的度数。

答案：$80^{\cir