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专题01集合新定义问题
以集合为背景的创新问题是考试创新题型的一个热点，此类问题多以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，常在创新集合定义、运算、性质等方面命题，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．
题型一与集合定义有关的创新问题
【例1】若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（????）
A．15 B．16 C．32 D．128
【答案】A
【解析】根据题意，可得具有伙伴关系的元素有，
其中有，共4组，它们中任选一组、二组、三组或四组均可组成伙伴关系集合，
所以共有.故选：A.
【解题技法】与集合新定义有关的创新问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决．
【跟踪训练】
若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误；
对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误；
对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误，
对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确；
故选：D.
题型二与集合运算有关的创新问题
【例2】如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
，
则,，
由集合的运算可知，表示中去掉的部分，
所以.故选D
【解题技法】与集合运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．
【跟踪训练】
（2024·广东珠海高一期末）对于的两个非空子集，定义运算，则（????）
A．
B．
C．若，则
D．表示一个正方形区域
【答案】BC
【解析】由题意知，表示以数集中的数为横坐标，数集中的数为纵坐标的点的集合，故，故A错误；
因为，
又，
所以，则B正确；
若，则，故C正确；
若，集合只包含一个点，故D错误．
故选：BC．
题型三与集合性质有关的创新问题
【例3】设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意，都有，且若，则，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是（????）
A．数域必含有0，1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集，则数集M一定是数域
D．数域中有无限多个元素
【答案】AD
【解析】因为P是一个数集，且至少含有两个数，可知P中必有一个非零实数，
对于选项A：当时，、，故A正确；
对于选项B：例如，，但，不满足条件，故B错误；
对于选项C：例如，取，，但，
所以数集M不是一个数域，故C错误；
对于选项D：由选项A可知：数域必含有0，1两个数，
根据数域的性质可知：数域必含有，必为无限集，故可知D正确．
故选：AD.
【解题技法】与集合性质有关的问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．
【跟踪训练】在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下三个结论：
①2023∈[3]；
②－3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]．
其中，正确结论的序号是________．
【答案】①③
【解析】①∵2023÷5＝404……3，
∴2023∈[3]，故①正确；
②∵－3＝5×(－1)＋2，
∴－3?[3]，故②错误；
③∵整数集中的数被5除的余数可以且只可以分成五类，故Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确．
题型四与数列交汇的创新问题
【例3】（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足使得．
【解】（1）由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，.
（2）由题意可知：，且，
因为，且，则对任意恒成立，
所以，
又因为，则，即，
可得，
反证：假设满足的最小正整数为，
当时，则；当时，则，
则，
又因为，则，
假设不成立，故，
即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（3）因为均为正整数，则均为递增数列，
（ⅰ）若，则可取，满足使得；
（ⅱ）若，则，
构建，由题意可得：，