2024北京牛栏山一中高二（下）期中数学试题及答案.docx
试题
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试题
2024北京牛栏山一中高二（下）期中
数学
2024.05
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一个符合题目）
1.二项式的展开式中常数项为（）
A.第1项 B.第2项 C.第3项 D.第4项
2.已知在等差数列中，，，则公差等于（）
A.8 B.6 C.4 D.
3.某校运动会负责播出稿件的志愿者有2人，负责给运动员引领的志愿者有5人，现要从这7人中选出3人组成慰问团，要求每项志愿服务都要有人参与，则不同的选法共有（）
A.16种 B.20种 C.25种 D.28种
4.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数不同，两次的点数之和小于6，则在发生条件下发生的概率为（）
A. B. C. D.
5.判断函数在下面哪个区间内是增函数（）
A. B.
C. D.
6.已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A.
B.是极大值点
C.的图象在点处的切线的斜率等于0
D.在区间内一定有2个极值点
7.数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（）条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.不充分也不必要
8.已知等比数列的前项和为，下表给出了的部分数据：
1
2
3
4
5
6
…
1
61
那么数列的第4项等于（）
A. B. C.或27 D.或81
9.从甲地到乙地共有、、三条路线可选择，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，若李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为（）
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.9
10.函数（其中）．关于函数有四个结论：
①，函数在内单调递增；
②，函数在内有最小值；
③，使得函数在内存在两个零点；
④，使函数在内存在2个极值点．
其中正确结论的个数是（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.和的等比中项是______．
12.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，记为“正面点数不大于2”出现的次数，则随机变量的方差______．
13.将三个人随机安排到甲、乙、丙、丁这四个部门工作，已知甲部门一定有人，则不同的安排方法种数是______．
14.已知函数，，若对于任意的，使得恒成立，则实数的取值范围是______．
15.已知点列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，……是线段的中点，……．记，则．______；______．
三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤．）
16.已知二项式，且满足．
（1）求值，并求二项式系数最大的项；
（2）求二项展开式中含项的系数；
（3）请直接写出展开式中所有项的系数的和．（此题涉及的系数一律用数字作答）
17.已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和的最值；
（3）设，求数列的前项和．
18.2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过电视收看的占，通过手机收看的占，其他为未收看者．
（1）从该地区被调查对象中随机选取4人，用表示这4人中通过电视收看的人数，求“4人中恰有3人是通过电视收看”的概率以及；
（2）采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和．
（3）从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人未收看的概率为；若3人全都是用电视收看的概率为．试比较与的大小．（直接写出结论）
19.已知为实数，函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线的方程；
（2）当时，求函数的极小值点；
（3）当时，试判断函数的零点个数，并说明理由．
20.已知函数．
（1）求曲线过点的切线方程；
（2）当时，求证：存在实数，使得．
21.已知集合，对于，，定义与之间的距离为．
（1）已知，写出所有的，使得；
（2）已知，若，并且，求的最大值；
（3）设集合中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求