《对数运算法则》教学设计一 (1).docx

《对数运算法则》教学设计

教学设计

一、情境引入，问题导学

16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数方法.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.现在已知，，如何求？

问题1：我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则，得出相应的对数运算法则吗？

问题2：在对数运算法则中，为什么要规定且，，呢？

问题3：如何用自己的语言分别表述出对数运算法则？

设计意图：激发学生的学习兴趣，为学习新课做好知识探究的准备.

继续以具体对数运算提出问题，进行探究：请同学们判断以下几组数是否相等：

（1），；

（2），.

提出问题：由（1）（2）的结果出发，同学们能看出它们具有怎样的共同点吗？

设计意图：让学生观察，学会从特殊到一般的学习方法，寻求规律.

请同学们交流讨论，得出结论：

.

那么这个结论是否正确呢？接下来我们具体地来证明这一结论.

设计意图：让学生体会“归纳—猜想—证明”是数学中发现结论、证明结论的完整思维方法.

二、新知研讨，固化知识

1.对数运算法则.

如果且，，，证明：.

证明：设，，

由对数的定义可得，，

.

，

即证得.

结论总结：

积的对数的运算法则如果且，，，那么.

事实上，除了上面的这个运算法则之外，人们在对数的运算和推理过程中，还发现了另外两个运算法则：

商的对数的运算法则.

幂的对数的运算法则.

（其中，且，，）

师：那么，请同学们结合前面积的对数的运算法则的证明以及以前所学的知识，对商、幂的对数的运算法则进行证明.3分钟后同桌交换，看相互之间的证明.交流心得，并进一步讨论，是否能够找到更多的证明方法.

设计意图：让学生熟悉和掌握对数和指数之间的互化，更深地理解对数的概念；寻求多种证明方法，发散学生思维.

商的对数的运算法则的证明：

方法一：（仿照积的对数的运算法则的证明，同理可证）

方法二：由积的对数的运算法则出发来证明：

.

方法三：.

幂的对数的运算法则的证明：

设，由对数的定义可得，

，.

即证得.

通过上述探讨、研究得到了对数的运算法则：

（1）；

（2）.

（3）.

（其中，且，，，）

说明：（1）可简单地用语言表达：“积的对数=对数的和”“商的对数=对数的差”“一个数次方的对数=这个数对数的倍”.

（2）注意有时会用到逆向运算：如.

（3）注意限制条件：必须是同底的对数，真数必须是正数.

例如：；

是不成立的；

是不成立的.

（4）注意以下结论是错误的：，

.

（5）积的对数的运算法则可以进行推广：

即（其中且，，，，…，均大于0）.

设计意图：加深学生对知识的理解，注意一些细节问题，避免出现公式的错误应用.

2.换底公式.

提问：（1）观察积、商、幂的对数的运算法则，我们发现对数都是同底的计算时才能用相应公式，那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？

提示：设法换为同底.

（2）与哪个对数相等？如何证明你的结论？

提示：.假设，则，即，所以，则，所以.

换底公式：

.

特别地：.

三、典型探究，知识升华

例1计算：

（1）；（2）.

答案（1）9（2）

设计意图：让学生熟悉对数的运算法则.

例2计算：.

解方法一：

.

方法二

.

设计意图：本例体现了对数运算法则的灵活运用.

例3已知，，求的值.

解，，，，

.

例4求证：

，

其中且，，，且.

证明.

方法总结：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10或e为底数进行换底.

四、课堂练习，巩固加深

教材第23页练习A第1，2题.

五、课堂小结，形成网络

1.对数的运算法则（积、商、幂的对数）及其成立的前提条件；换底公式.

2.对数运算法则的逆用，应引起足够的重视.

3.对数运算法则的综合运用，应注意掌握变形技巧.

六、布置作业

教材第23～24页练习A第3～5题，练习B第1～6题.

板书设计

4.2.2对数运算法则

1.对数运算法则：

；

；

.

（其中，且，，）

2.换底公式：

特别地：

例1

例2

例3

例4

小结

教学研讨

注意避免几个容易出错的问题：（1）积、商、幂的对数的运算法则公式的形式要把握准确.（2）换底公式的正用与逆用.（3）整体性质的应用，注意把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题.