考研真题 江苏大学理学院853高等代数历年考研真题.docx

考研真题江苏大学理学院853高等代数历年考研真题

(一)填空题

1.若矩阵\(A\)的特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)，则矩阵\(2A\)的特征值为______。

2.设\(A\)是三阶矩阵，且\(|A|=2\)，则\(|A^{1}|=\)______。

3.若\(A\)是三阶实对称矩阵，且\(A\)的特征值分别为\(1,2,3\)，则\(A\)的逆矩阵\(A^{1}\)的特征值为______。

4.设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是线性无关的向量，则线性方程组\(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=0\)的解的个数为______。

5.若\(A\)是三阶矩阵，且\(A\)的行列式\(|A|=0\)，则\(A\)的秩为______。

(二)判断题

1.若\(A\)是实对称矩阵，则\(A\)的特征向量必定是正交的。(对/错)

2.若\(A\)是三阶矩阵，且\(|A|=0\)，则\(A\)必是不可逆矩阵。(对/错)

3.两个等价的线性方程组必定有相同的解。(对/错)

4.若\(\alpha\)是\(A\)的特征向量，则\(\alpha\)必定是\(A\)的特征值对应的特征向量。(对/错)

(三)计算题

1.已知矩阵\(A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)，求\(A\)的行列式。

2.设矩阵\(A\)的特征值为\(2,3,4\)，对应的特征向量分别为\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)，求\(A\)的矩阵表示。

3.已知向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，求\(k\)的取值范围，使得向量组\(k\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关。

4.设\(A\)是三阶矩阵，且\(|A|=2\)，求\(|3A^{1}|\)的值。

(四)解答题

1.设\(A\)是三阶实对称矩阵，证明：\(A\)可以相似对角化。

2.设\(A\)是三阶矩阵，证明：若\(A\)的所有特征值都大于零，则\(A\)是可逆矩阵。

3.设\(A\)是三阶矩阵，证明：若\(A\)的特征值之和为零，则\(A\)的行列式为零。

4.设\(A\)是三阶矩阵，且\(A\)的特征值分别为\(1,2,3\)，求\(A\)的伴随矩阵\(A^\)。