空间向量概念及运算.ppt

四、空间向量加法与数乘向量运算律 * 浙江省玉环县楚门中学吕联华 平面向量 空间向量 具有大小和方向的量 具有大小和方向的量 几何表示法 几何表示法 字母表示法 字母表示法 向量的大小 向量的大小 长度为零的向量 长度为零的向量 模为1的向量 模为1的向量 长度相等且方向 相反的向量 长度相等且方向 相反的向量 长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向相同的向量 定义 表示法 向量的模 零向量 单位向量 相反向量 相等向量 一：空间向量的基本概念 a b a b O A B b 结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 内，成为同一平面内的两个向量。 思考：空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么？ O′ 说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广． 2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。 加法交换律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法结合律  例如: 三、空间向量的数乘运算 ⑴加法交换律： a + b = b + a； ⑵加法结合律： (a + b) + c =a + (b + c)； a b c a + b + c a b c a + b + c a + b b + c （3）.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 五、共线向量: 零向量与任意向量共线. 1.空间共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 2.空间共线向量定理:对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数使 由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题 中点公式： 若P为AB中点, 则 O A B P 3.A、B、P三点共线的充要条件 A、B、P三点共线 六、共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量 既可能共面，也可能不共面 d b a c 由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ， 使 如果空间向量 与两不共线向量 ， 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 那么什么情况下三个向量共面呢？ 反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位 置关系？ C 2.共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线， 则向量 与向量 ， 共面的充要条件是 存在实数对x,y使 C 3.空间四点P、A、B、C共面 实数对 例1、给出以下命题： （1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； （2）若空间向量 满足 ，则 ； （3）在正方体 中，必有 ； （4）若空间向量 满足 ，则 ； （5）空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 C A B C D A’ B’ C’ D’ 例2 解： A B C D A’ B’ C’ D’ ⑶设M是线段CC’的中点，则 解： A B C D A’ B’ C’ D’ M ⑷设G是线段AC’靠近点A的 三等分点，则 G A B C D A’ B’ C’ D’ M 解： 例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 A B C D A1 B1 C1 D1 例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 A B C D A1 B1 C1 D1 例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 A B C D A1 B1 C1 D1 解：