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第一章：函数 第二章：极限与连续 第三章：导数与微分 第四章：中值定理及导数应用 第五章：不定积分 第六章：定积分与广义积分 第七章：偏导数与全微分 第八章：二重积分 第一章: 函 数 1定义： （1）构成函数的两要素：定义域D,对应规则f; （２）当两个函数的定义域和对应规则分别相同时，则可确定这两个函数相同；反之有一个不相同时，就认为是两个不同的函数． * 刘梓修 编写 前方有险阻 只要肯登攀 辅导内容 一、基本概念及结论 例1.在下列各组函数中表示同一个函数的是（ ） 分析： （A）不能选，因为 的定义域为 的定义域是R；（B）不能选，因为定义域不同； （D）不能选，因为定义域不同；只能选（C），因为两 个函数的定义域相同，对应规则也相同. 例2. 定义域是_______； 由 故 的定义域为 例3. 的值域是__________. 分析:先求反函数,而反函数的定义域就是原来函数的值 域. X的定义域为 ，故原来函数的值域为 2.分段函数与隐函数 （1）.分段函数：如果变量x与y的函数关系是由两个或两个以上的解析式给出的称分段函数.含绝对值符号的函数也是分段函数.如 分段函数至少有1个以上的分段点，分段点两侧的函 数表达式是不同的，因此讨论分段点处的极限、连续、 导数等问题时，必须分别讨论左、右极限，左、右连 续和左、右导数，分段函数一般不是初等函数，不能用 初等函数在定义域内皆连续这个定理. （2）.隐函数：形如 的函数称为显函数， 如果自变量x与应变量y的函数关系是由方程 给出的，称为隐函数.有些隐函数可以化为显函数，但不一定是单值函数，而有些隐函数则不能化为显函数. 3.复合函数与反函数 （1）复合函数：若 是 的函数 ， 又是 的函数 ，且 能使 有意义， 是 则称 的复合函数，其中X是自变量， u是中间变量，y是因变量． y就不是x的复合函数；复 合函数可分解为蕳单的函数. 例如： （２）严格单调（一一对应）的函数才有反函数 例4. 求 的值域及反函数 解： （1）当 （2）当 时， （3）当 时， 反函数为 或 所以 的值域为 ４．基本初等函数与初等函数 基本初等函数：定义、性质、图形非常重要，特别是 图象要很清晰.有助于讨论函数的性质及运算.如： 初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和复合 步骤所构成的并且可由一个解析式表示的函数统称为初 等函数 若f(x)的定义域关于x=0点不对称，则不可能是奇函 数或偶函数。Y=c(c为非零常数)是偶函数，y=0既是 奇函数也是偶函数， 是非奇非偶的函数． 5.非初等函数 5.函数的简单性质 (1)奇偶性 设函数 在区间x上有定义，如果对 恒有 　　　 则称f(x)为偶函数（或f(x)为奇函数）.偶函数f(x)的 图形对称于y轴，奇函数f(x)的图形对称于原点. （1）极限形式的函数： （2）积分形式的函数： 注：判定一个函数的奇偶性主要根据定义，有时也 用其运算性质：奇函数的代数和为奇函数，偶函数 的代数和为偶函数；偶函数的积为偶函数；偶数个 奇函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数； 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。而 也是判别 为奇函数的有效 方法。函数的奇偶性相对于对称区间而言，若函数的 定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言。 (2)周期性 注:求给定函数的周期或有关函数周期性的证明,主 要是利用周期函数的定义及周期函数的运算性质. (3)有界性 注:证明或判定函数的有界性主要依据是: 1.有界性的定义; 2.闭区间上的连续函数是有界的，如果 上连续，且 则 上有界； 3.有极限的数列必有界. 函数的有界、无界是相对于某区间而言.无穷大量 一定无界，反之不然.如 是无界函数，而非无穷大量. (4)单调性 *对数函数与指数函数在其定义域内是严格单调的. 注:已知函数可导时,利用一阶导数判定其单调性;未 告之可导时,用单调性定义判定. 例7. 设 则下列结论正确的是（ ） （D）若 为单调函数，则 为单调函数. （C）若 为周期函数，则 为周期函数； （A）若 为奇函