线性代数同济.ppt

§4 对换 一、对换的定义 二、对换与排列奇偶性的关系 三、小结 * * * * 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换． 例如 备注 相邻对换是对换的特殊情形. 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现. 如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了. m 次相邻对换 m+1次相邻对换 m 次相邻对换 m+1次相邻对换 定理1　对换改变排列的奇偶性. 证明 先考虑相邻对换的情形． 注意到除 外，其它元素的逆序数不改变. 当 时， ， ， . 当 时， ， ， . 因此相邻对换改变排列的奇偶性. 既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么 2m+1次相邻对换 因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变. 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数. 由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列(逆序数为零)，因此可知推论成立. 证明 因为数的乘法是可以交换的，所以 n 个元素相乘的次序是可以任意的，即 每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列 与 都同时作一次对换，即 与 同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变. 第一下标安自然数排列 第二下标安自然数排列 于是 与 同时为奇数或同时为偶数. 即 是偶数. 因为对换改变排列的奇偶性， 是奇数， 也是奇数. 设对换前行标排列的逆序数为 ，列标排列的逆序数为 . 所以 是偶数， 因此，交换 中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变. 设经过一次对换后行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此. 所以，在一系列对换之后有 定理2 n 阶行列式也可定义为 定理3 n 阶行列式也可定义为 例1 试判断 和 是否都是六阶行列式中的项. 解 下标的逆序数为 所以 是六阶行列式中的项. 行标和列标的逆序数之和 所以 不是六阶行列式中的项. 例2 用行列式的定义计算