线性代数一节.ppt

第四节 对 换 对换的定义 主要内容 对换的性质 n 阶行列式的等价定义 一、对换的定义 为了研究 n 阶行列式的性质，先来讨论对换 以及它与排列的奇偶性的关系. 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其 余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换. 二、对换的性质 推论 1 在全部 n 阶排列中(n≥2),奇偶 排列各占一半. 定理 1 一个排列中的任意两个元素对换, 排列改变奇偶性. 推论 2 奇排列变成标准排列的对换次数为 奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数. 三、n 阶行列式的等价定义 利用 下面来讨论行列式定义的另 一种表示法. 对于行列式的任一项 其中 为自然数排列，t 为排列 的逆序数， 对换元素 与 成 这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同 时作了一次相应的对换. 设新的行标排列 的逆序数为 r ，则 r 为奇数； 设新的列标排列 的逆序数为 t1 ，则 故 于是 这就表明，对换乘积中两元素的次序，从而 行标排列与列标排列同时作了相应的对换，则行 标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性. 经一次对换是如此，经多次对换当然还是如此. 于 是，经过若干次对换，使 行标排列则相应地从自然排列变为某个新的 排列，设此新排列为 其逆序数为 s，则 又若 pi = j （即 ）. 可见排 列 由排列 所唯一确定. 由此可得 列标排列 （逆序数为 t）变为自然 排列（逆序数为0）；