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第四节 高阶系统分析 小 结 零、极点位置对高阶系统单位阶跃响应曲线的影响情况。极点位置决定衰减快慢，零点和极点同时决定各项系数的大小 主导极点 高阶系统简化为低阶系统的原则 * 一、典型三阶系统的瞬态响应 传递函数： ，当 时，极点分布如下： 单位阶跃响应的ωn曲线： 式中： 与 （实极点与共轭极点的位置关系）有关。 式中： 式中： 与 （实极点与共轭极点的位置关系）有关。 式中： [分析]：三阶系统的单位阶跃响应由三部分组成：稳态项，共轭复极点形成的振荡分量，实极点构成的衰减指数项分量。 图中， 表示无 极点，由图可见，加入极点 后，当 不变时，超调量下降了，但调节时间增加了。 影响瞬态特性的有两个因素：第一是 ，它表示 的相对位置。当 时，表示 离虚轴远， 离虚轴近，系统的瞬态特性主要由 决定，呈二阶系统的特性。反之，当 时，表示 离虚轴近， 离虚轴远，系统的瞬态特性主要由 决定，呈一阶系统的特性。第二个因素是阻尼系数 ，同前。如下图所示： 增加极点将使超调量减小，调节时间增加。当增加的极点远离虚轴（b 1）时，其影响逐渐减小。如果增加的极点位于共轭复数极点的右侧（即b1），则系统响应趋于平缓，响应特性类似于过阻尼情况的二阶系统。 b=4 b=2 b=1 b=0.5 二、高阶系统分析 高阶系统的传递函数为： 写成零极点形式： 写成零极点形式： 其单位阶跃响应函数为： 高阶系统的单位阶跃响应是由n+1项（每一项称为高阶系统单位阶跃响应的一个分量）组成，每个分量对应于C(s)的一个极点，其中控制信号的极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量，传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。 每个单极点对应一阶系统响应分量，一对共轭复数极点对应一个二阶振荡系统的响应分量。 如果系统所有的闭环极点都具有负的实部，即所有闭环极点都在S平面的左半部，那么随着时间的增长，c(t)中除第一项外的项都趋于零，且闭环极点距虚轴越远，对应的响应分量衰减得越快。稳态响应为Ao1(t)。 对于稳定的的高阶系统，其瞬态响应不仅与其闭环极点有关，而且也与其零点有关。 可见，c(t)不仅与 （闭环极点）有关，而且与系数 有关（这些系数都与闭环零、极点有关）。所以，高阶系统的单位阶跃响应取决于闭环系统的零、极点分布。 对于闭环极点全部位于s左半平面的高阶系统（否则系统不稳定），极点为实数（指数衰减项）和共轭复数（衰减正弦项）的衰减快慢取决于极点离虚轴的距离。远，衰减的快；近，衰减的慢。所以，近极点对瞬态响应影响大。 [定性分析]： 若极点远离原点，则系数小； 极点靠近一个零点，远离其他极点和零点，系数小； 极点远离零点，又接近原点或其他极点，系数大。 系数 取决于零、极点分布。有以下几种情况： 常见高阶系统的单位阶跃响应见下图所示： 衰减慢且系数大的项在瞬态过程中起主导作用。这是因为这种极点所决定的瞬态分量不仅持续时间最长，而且其初值幅值也大，充分体现了它在系统响应中的主导作用，故称其这系统的主导极点。 存在有一实数极点或一对离虚轴最近的共轭极点； 附近无零点； 其他极点距虚轴的距离是它的5倍以上。 [主导极点]：满足下列条件的极点称为主导极点。 三、闭环主导极点 解： 用部分分式法将上式展开，由拉氏反变换得 显然，由极点s3=-15产生的瞬态响应项一仅幅值小，而且衰 减得快，因而对系统的输出响应很小，故可把它略去。于是，系 统的输出可近似地用下式表示： 例 已知一系统的闭环传递函数为 [例如]： 为某高阶系统的主导极点，则单位阶跃响应近似为：