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　 §4.群 　　 ?群的基本概念 　　 ?群的性质 　　 ?群中元素的阶 　　 ?循环群 　　 ?置换群 　　 ?子群 　　 ?陪集与拉格郎日(Lagrange)定理 §4.群 定义1.群group 设G, * 是含幺半群。若G中每个元素都有逆元，即　?g(g?G? g-1?G)，则称G, *为群。 注：?群就是每个元素都有逆元的含幺半群； 　　?验证一个代数系统是群，必须验证以下四点： (1)封闭性; (2)结合律; (3)有幺元; (4)有逆元。 例1. I,? , Mn?n, ? , Nm, ?m , 2X, ? , P[x], ? 是群吗？ 例2. I, +是一个群。 　这里： I是整数集合，+是整数加法。 例3. Mn?n, +是一个群。 　这里： Mn?n是n?n实矩阵的全体，+是矩阵加法。 例4. Nm, +m 是一个群。 这里：Nm ＝ {[0]m, [1]m, …, [m-1]m }, +m定义如下 ?[i]m ,[j]m?Nm, [i]m +m[j]m ＝[(i+j)mod m]m。 例5. 2X, ?是一个群。 　这里： X是一非空集合，2X是X的幂集，?是集合的环和运算，即A ? B=(A?B?)?(B?A?)。 例6. P[x],+是一个群。 　这里： P[x]是实系数多项式的全体，+是多项式的加法。 定义2.交换群(Abel群 加群)。 设G,*是群。若*运算满足交换律，则称G,*是交换群。 例7.例2，例3，例4，例5，例6是交换群吗？ 定义3.群的阶(rank) 　设 G,*是群。称G的势(基数)为群G,*的阶。 注：?群的阶反映群的大小； ?由定义3知有限群的阶就是G中元素的个数 ；无限群的阶是G的势；群的阶统一记为|G| 。 　 定理1.设G,*是群，|G|?2 。则 (1)G中每个元素的逆元是唯一的; (2)G中无零元。 [证]. (1)由于群有结合律，所以由§1定理2可知，逆元唯一； 　(2)采用反证法：若零元0?G ，则对任何元素g?G ，都有 0 * g=g * 0=0 　(1) 由于G是群，每个元都有逆元。设0的逆元为g0，则有 　 0 * g0=g0 * 0=e (2) e为群G的幺元。根据(1) ，特别地有 0 * g0=g0 * 0=0 (3) 由(2),(3)有 e=0 因而对群G的任何元g，都有 g=g * e=g * 0=0 故此|G|=1。 因而与定理所给条件|G|?2矛盾。 定理2. 设 G,*是群。则 ?a,b?G，有 (1)反身律：(a-1)-1 =a ； (2)鞋袜律：(a*b)-1 = b-1*a-1 。 [证]. (1)?a?G， (a-1)-1=(a-1)-1*e 　 =(a-1)-1*(a-1 *a) =((a-1)-1*a-1 ) *a (结合律) =e *a =a ； (2)?a,b?G， (a*b)-1 = (a*b)-1 *e =(a*b)-1*(a * b * b-1 * a-1 ) (结合律) =((a*b)-1*(a * b))* (b-1 * a-1 ) (结合律) =e *(b-1 * a-1 ) =b-1*a-1。 定理3 设G,*是群，则*运算满足消去律。即?x,y,z?G, x ? y