金融工程教学课件第十三章 随机积分与资产价格建模.pptx

第十三讲随机积分与资产价格建模1《金融工程》中国人民大学出版社冯建芬邓军余湄编著

2主要内容第一节布朗运动与伊藤(Ito)公式第二节几何布朗运动

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4知识目标了解Black-Scholes公式的数学理论基础——随机积分的相关知识，包括一元和二元伊藤公式的定义和应用，布朗运动和几何布朗运动的定义、特征和在资产价格建模中的应用。

5第一节布朗运动与伊藤(Ito)公式

6引言1826年，英国植物学家布朗（RobertBrown）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现，花粉的运动并不遵循某种规则的模式，而是呈现出一种永不停歇的无规则运动。后来，用布朗的名字来对这种无规则的运动进行命名，将其称为布朗运动。数学家维纳（NorbertWiener，1894-1964）首次给出了布朗运动这种随机过程在数学上的严格定义，因此布朗运动又被称为维纳过程。

7一、布朗运动?

8二、伊藤积分?

9（一）简单函数的伊藤积分?

10（一）简单函数的伊藤积分的性质?

11（三）一般函数的伊藤积分?

12（四）一般被积函数的伊藤积分的性质?

13三、伊藤过程?

14三、伊藤过程?

15三、伊藤过程?

16四、伊藤引理?

17第二节几何布朗运动

18一、几何布朗运动的定义?

19二、几何布朗运动的特性?

20二、几何布朗运动的特性?

21三、几何布朗运动的应用GBM被用来描述股票价格过程的原因只要初始值为正值，几何布朗运动描述的资产价格都为正马尔科夫性与有效市场的假设是相符的解析表达式为定价带来了便利收益率序列满足独立增量性和平稳增量性，与我们假设股票日收益率独立同分布是一致的GBM对金融资产价格的变动进行建模仍然存在以下缺点波动率是常数，不随时间变化而变化资产价格的收益率服从正态分布，没考虑尖峰厚尾特性标的资产的价格有时候也可能出现负值的情况

22三、几何布朗运动的应用例13.2假设某支股票的价格服从几何布朗运动，且该股票不存在任何形式的分红和股息派发，如果该股票收益率的年化波动率为24%，预期收益率为18%，该股票在当前的价格为200元，求一个月后该股票价格变化值的概率分布。

23三、几何布朗运动的应用?

24三、几何布朗运动的应用例13.3我们假设某支股票的价格服从几何布朗运动，不考虑股票支付红利的情形，如果该股票的预期收益率为10%，年化波动率为15%，该股票在当前的价格为150元，求标的资产价格3个月后价格取值的95%置信区间。

25三、几何布朗运动的应用?

26三、几何布朗运动的应用?

27三、几何布朗运动的应用?

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