06计算传热学第6讲.ppt

by Professor Liu Zhongliang 第6讲 对流-扩散方程的离散化 Discretization of Convection-Diffusion Equations 本讲内容 对流－扩散问题的特征 二阶中心差分格式之不可能 一阶格式 一阶格式的缺陷 高阶格式 多维问题及边界条件的处理 阅读要求、习题 阅读要求： 陶文铨《数值传热学》第5章 习题： P183 题5－2 P184 题5－4、5－11 第三题 单独讨论CDE离散化的必要性 差分格式：前面介绍的导出方法的不可行性 对流扩散问题的分类及解法 边界层问题 非边界层问题 特殊的问题必须采用特殊的处理方法 6.1 通用方程与四个原则 The Equation 四个原则 四个基本原则是： 控制界面上流的相容性原则 系数同号原则 相邻数之和原则 负斜率源项原则 物理真实解：必备条件 6.2 对流－扩散问题的特征 物理上： 存在宏观相对运动，对流效应 数学上： 一阶偏导数项 数值困难 对流项的存在 核心 解决好对流项的离散化问题 6.3 Taylor级数展开法与CV法 对象：一维稳态无源问题 TAYLOR级数展开法 将（3）应用于节点P， TAYLOR级数展开法 将方程（5）、（6）代入（4），整理后就得到差分方程。结果如下： TAYLOR级数展开法 控制容积法 将方程（3）对控制容积P积分， 控制容积法 将（9）、（10）代入方程（8），得到， 控制容积法 如果我们假定节点间待求变量按线性分布，则有， 控制容积法 注意，在处理积分时，上面的处理方法与下面的处理方法并不是等价的， 控制容积法－特别说明 在对流扩散方程的离散化中，关键是对流项的处理。扩散项一般采用二阶精度的三点中心差分格式，于是，式(11) 6.4 中心差分格式Central-Differencing Scheme 对流项采用中心差分格式，亦即假定节点间待求变量线性分布，于是 中心差分格式 令， 中心差分格式 而差分方程（14）就简单地变为， 中心差分格式－说明与讨论 小写字母下标表示在控制界面处取值 大写字母下标表示在节点处取值 对流项的引入并没有改变差分方程的形式：所以求解差分方程的方法同样适用。 中心差分格式－说明与讨论 F和D的物理意义： 中心差分格式－说明与讨论 网格Peclet数 中心差分格式－说明与讨论 P? 可以大于零，也可以小于零 传递过程物理性质的不同，其内容不同： 对于热量传递：?＝?c, ?＝k(导热系数)，则： 中心差分格式－说明与讨论 按连续性方程， 特别提示 当且仅当在对对流－扩散方程进行离散化时应用连续性方程才能保证所得到的差分方程满足相邻系数之和原则 中心差分格式－说明与讨论 注意到， 中心差分格式－说明与讨论 或 中心差分格式－说明与讨论 例： 空气?＝1.3kg/m3, ?=?=1.8?10-5 kg/ (m?s) 在内径为50mm的管子内部流动，流速为1m/s。为了满足中心差分格式的要求， 中心差分格式－说明与讨论 在一条直径方向上就需要布置1808个节点! 实际流速一般都要接近100m/s, 直径接近500mm，所以，节点数目将是一个天文数字：1.808×106 还有其它方向呢！ 6.5 严格解（Exact Solution) 一维稳态无内热源的对流扩散问题： 严格解（Exact Solution) 严格解（Exact Solution) 从图中可以看出， 当Pe＝0时，?～x呈线性关系，纯扩散 当Pe?1时，扩散仍占主导地位，所以?～x仍然接近线性关系 当Pe1时，扩散作用退居次要地位，对流跃居主导地位， ?～x呈强非线性关系。绝大部分区域内的待求变量几乎就是上游值。 严格解（Exact Solution) 结论： Peclet数的大小表征了对流与扩散作用的相对强弱。 当Pe1时，对流作用占绝对控制地位 求解区域的绝大部分的??值几乎就是上游值 中心差分格式：一味地采用线性关系，从而造成了中心差分格式的失效。 6.6 逆风(迎风)格式 Up-wind scheme 基本依据： 中心差分格式：界面值总是取相邻节点的平均值－－失效 严格解：Peclet数较大时，控制界面上的值实际上更接近于上游节点的值 基本做法： 用上游节点的值代替控制界面的值 逆风(迎风)格式 而， 逆风(迎风)格式 同样， 逆风(迎风)格式 逆风(迎风)格式 关于迎风格式的说明之一 系数总是大于零：不论D和F的取值如何 系数同号原则总成立 相邻系数之和原则总成立 不论Peclet数的大小，总能给出物理上真实的解 逆风(迎风)格式 关于迎风格式的说明之二 逆风格式的截断误差：O(?x) 不论Peclet数如何，均不能给出高精度的结果 6.7 指数格式(Exp