数理方程(调和方程).doc

调和方程 §1.调和方程的定解问题 1.方程的几个例子 稳定的温度分布 温度分布满足 稳定热源:与无关 边界绝热(即边界条件也与无关) 则长时间后,温度分布必然趋于稳定状态(与无关),即 此时有, ()称为Poission 方程 当时,,称为Laplace方程或调和方程. 例2.弹性膜的平衡状态: 为膜在垂直方向的位移,外力,则有 例3.静电场的电势 Maxwell方程组 :电场强度, :磁场强度, :电感应强度, :磁感应强度 :传导电流的面密度, :电荷的体密度 物质方程 导磁率, :导电率, : 介质的介电常数 ∵静电场是有势场: , 即 若静电场是无源的,即,则 例4.解析函数 则满足Cauchy-Riemann条件: 例5.布朗运动(见图) 设质点运动到边界上即终止， 易知, 2.定解问题 内问题:,有界,,在内满足 边界条件: 第一类(Dirichlet): 第二类(Neumann): 第三类(Robin): 为的单位外法线方向. 外问题:在外部满足 同样有三类边界条件(此时为的内法线方向). 但解在无穷远处是否可以不加限制?要加何种限制? 先看两个例子: 例1. 均为解, 例 2. 均为解. 因此,解在无穷远点一定要加限制,以确定解的唯一性. 通常, 解在无穷远处有界:有界 解在无穷远处趋于0: 无界区域的边值问题:与外问题类似 等值面边值问题: 边界条件: 这个问题可约化为 Dirichlet问题: 设的解为,选取常数, s.t.: 则 §2.分离变量法 圆的Dirichlet内问题与外问题 内问题 引入极坐标 则原问题化为: 将代入方程并分离变量得 求解特征值问题: ∴时不是解. . ∴ 求解: 一般Euler方程的求解： (Poisson公式) 外问题 同样有Poisson公式 2.扇形域 分离变量得: 与 3.环形域 解联立方程即得 例如 4.矩形域 分离变量得 特征值问题 类似地， 5.非齐次问题 例 方法一:方程齐次化 令 设 方法二.特征函数法: 令 代入方程: , 边界条件 易求得（*）的一个特解为, （**）的一个特解为 , , §3调和函数的基本性质 3.1 Green公式 设为有界区域, 分块光滑, . Green第一公式 设,则 证明: 同样地, 若,则 因此有, Green第二公式 设则 Green公式特例 3.2 调和函数的基本性质 Neumann问题解的自由度及可解性条件 (1)解的自由度 考虑问题 (PN) 若它有两个解, 则满足问题 结论: 问题(PN)在相差一个常数的意义下有唯一解. (2)可解性条件 对问题(PN), 结论: 问题(PN)有解的必要条件为 . 基本积分公式 先考察的情形. 设 考虑函数 其中 . 易知,除外关于处处 满足调和方程,称之为调和方程的基本解. 取充分小,使得. 记 (见图) 则,且在内处处满足调和方程. 设,对与应用Green第二公式, 其中 令则从而, 成为基本积分公式. 调和函数的基本积分公式为: 基本解: 其中为维空间中单位球面的面积. 时的基本积分公式为: 对调和函数,成立 3. 平均值定理 记以为球心、为半径的球为,球面为 设, 且在内调和,则 证明: 先假设 由中的基本积分公式, 若,则取,在上有 取极限即可. 上调和(): 下调和(): 注2.平均值公式的球坐标形式： 注3. 4. 极值原理 例题 5. Dirichlet内问题解的唯一性与稳定性 内问题 唯一性: 考虑相应的齐次问题. 稳定性: 连续依赖于边界条件. 考虑, §4 Green函数及其应用 4.1 Green函数 Green函数的定义 设为有界区域,. 设函数若在中调和,则 设,已知基本积分公式 相加得 因此选满足 称函数为Green函数. 易知除外关于变量 处处满足调和方程,且. 对Dirichlet问题, 对二维情形,Green函数为 其中满足 Green函数的意义 Green函数仅依赖于区域,而与边界条件无关. 特殊区域上的Green函数可用初等的方法求出. 利用Green函数求解的积分公式可以讨论解的性质. 有明显的物理意义