2002年考研数学试题详解及评分参考.pdf

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2002 年数学试题详解及评分参考 2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考 学（一） 一、填空题：（本题共5 小题，每小题3 分，满分15 分.） +• dx (1) Úe x ln2 x = . 【答】应填1. +• dx 1 1 【解】 = - +• = -[0 - ] = 1. Úe x ln 2 x ln x e ln e (2) 已知函数y = y (x ) 是由方程ey + 6xy + x 2 - 1= 0确定，则y ¢¢(0) = -2 . 【答】应填 -2 【解】方程两边对 y ¢ ¢ x 求导，将y 视为x 的函数，得e y + 6xy + 6y + 2x = 0 . ① ¢ y ¢¢ y ¢ 2 ¢¢ ¢ 再对x 求导，将y ，y 均视为x 的函数，得e y + e (y ) + 6xy + 12y + 2 = 0 . ② 当x = 0 时，由原方程知y = 0 ，再以x = 0 ，y = 0 代入①得y ¢ = 0 ，再代入② y ¢¢ = -2 . ¢¢ ¢2 ¢ 1 (3) 微分方程y y + y = 0 满足初始条件y x = 0 = 1 ，y x = 0 = 的特解是 . 2 【答】应填y = x + 1 或y 2 = x + 1 ¢ ¢ ¢ ¢ 1 【解法1】原方程即(yy ) = 0 ，从而yy = C 1 ，由初始条件x = 0 时，y = 1，y = ， 2 ¢ 1 1 2 于是C = 1 ，得yy = ，即y dy = dx ，积分得y = x + C ，再由初始条件y = 1 1 2 2 2 x =0 得y 2 = x + 1，解得y = x + 1. 【解法2 】此微分方程属于y ¢¢ = f (y , y ¢) 型 （不显含x ）. 令y ¢ = p ，有 ¢¢ dy ¢ dp dp dp 2 y = = = p ，从而原方程变为yp + p = 0 ，即 dx dx dy dy dp ¢ 1 p = 0 或y + p = 0 ，因前者不满足初始条件y x = 0 = ，故