向量的应用求空间坐标旋转变换.doc

向量的应用----求空间坐标旋转变换 山 石 摘要：利用向量的投影意义推导出空间直角坐标转换公式，并举例应用——点绕定直线转动的问题。 此方法易理解掌握、计算简单，不仅拓宽了向量知识的应用范围，为解决三维直角坐标转换提供了一种新方法，同时对测绘学、计算机图形学都有借鉴意义。 介绍一种利用空间向量求解坐标变换关系的方法，简化了传统的坐标系之间坐标变换关系求解的复杂计算，减小了采样误差对计算结果的影响，为建立各种物体之间的位姿描述提供了有效的数学计算手段。中一点在另一 空间直角坐标系的坐标，点在坐标 系的坐标为，且两个坐标系符合右手旋 转规则，如图一，轴、轴、轴正方向的单位向量分 别为、、，设、、 。 证明：将空间直角坐标系按平移得新空间直角坐标系，（如图一）则点在的坐标为。根据向量的投影知识在上的投影就是点在坐标系中的横坐标，在上的投影就是点在坐标系中的纵坐标，在上的投影就是点在坐标系中的竖坐标。 所以 这就是空间点在两个空间直角坐标系坐标变换的公式.其中是点在空间直角坐标系的坐标,是点在空间直角坐标系的坐标；点在坐标系的坐标为.、、分别是、、在空间直角坐标系的单位向量坐标。 二．运用——点绕定直线转动的问题 已知定直线的向量，点为直线上一点，设空间一点绕直线旋转角到点（图三），下面介绍求旋转变换的方法。 思路：1. 将点在坐标系的坐标变换为在坐标系的坐标； 2．导出点绕轴旋转角到点的两坐标之间关系； 3. 将点在坐标系的坐标，变换为在坐标系的坐标。 步骤： ①.建立符合右手旋转新坐标系，求出轴、轴、轴正方向的单位向量。 以点为原点，取直线为轴，以过且垂直于轴、轴的直线为轴建立符合右手旋转新坐标系。设轴、轴、轴正方向的单位向量分别为、、，设轴、轴、轴正方向的单位向量分别为、、。由向量轴的单位向=， 且; 由轴分别垂直轴、轴计算出=，且; 由轴分别垂直轴、轴计算出=，且. ②表示出点在坐标系的坐标。 设点在坐标系的坐标，根据公式一 ③将点绕轴旋转角 在坐标系中，设点绕轴旋转角到点 根据公式二， ④表示出点在坐标系的坐标。 由题知点在坐标系的坐标，根据公式一 最后整理导出点与点的坐标关系。 例：在空间直角坐标系中，曲面：绕 直线旋转得到曲面，求曲面方程。（图四） 解：①以直线上的点为原点，直线为轴， 以过且垂直于轴、轴的直线为轴建立符合右手旋 转新坐标系。 设轴、轴、轴正方向的单位向量分别为、、， 设轴、轴、轴正方向的单位向量分别为、、。 由直线的一个向量（0，1，1），可得，且 由 ， ，且，得出， 由 ，，且，得出 ②表示出点在坐标系的坐标。 设点在空间直角坐标系的坐标，根据公式一 ③将点绕轴旋转角得到点。根据公式二 得 ④表示出点在坐标系的坐标。 由题知点在坐标系的坐标，根据公式一 整理得 又 ，得方程 ， 所以所求的曲面方程为。 利用向量知识求空间坐标旋转变换，不仅拓宽了向量知识的应用范围，并为求空间坐标旋转变换提供了一种新方法，同时对测绘学、计算机图形学、物理学等都有对测绘学、计算机图形学都有借鉴意义。 - 1 - O Z 图三 X = = 得 得 得 图二 Z Y X Y O 图一 证明： （公式一） X Y O Z 即： （公式一） 图三 X Y O Z