第一节二重积分的概念与性质报告.ppt

* 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 二重积分的概念与性质 一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结 思考题 复习和总结： 定积分 （1）定积分是用来解决哪一类问题？ （2）解决这一类问题采用了什么思想方法？ （3）如何计算定积分？ 定积分: (1)求非均匀分布在区间上的量的求和问题 要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题 推广 所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关 被积函数 积分范围 二元函数 平面区域 二重积分 三元函数 空间区域 三重积分 一段曲线 曲线积分 一片曲面 曲面积分 被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间 (2)“分割,取近似,求和, 取极限” 柱体体积=底面积× 高 【特点】平顶. 柱体体积=？ 【特点】曲顶. １．曲顶柱体的体积 一、问题的提出——引例 【解法】类似定积分解决问题的思想: 给定曲顶柱体: 底：xoy 面上的闭区域D 顶: 连续曲面 侧面：以D的边界为准线 , 母线平行于z 轴的柱面 求其体积. “分割, 取近似, 求和, 取极限” 【步骤如下】 ②取近似、 ③求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积， ①分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域， 得曲顶柱体的体积 ④取极限： ２．求平面薄片的质量 ⑴分割：将薄片分割成若干小块， ⑵近似：取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， ⑶求和：所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 【分析】 ? =常数时，质量= ? ·? ，其中? 为面积. ⑷ 取极限：得薄片总质量 若? 为非常数，仍可用“分割, 取近似, 求和, 取极限”解决. 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “分割, 取近似, 求和, 取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 二、二重积分的概念 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 2.【对二重积分定义的说明】 存在的必要条件. (1)积分存在时，值与区域的分法和点的取法无关 代替 ？ 不能用 连续是二重积分存在的充分条件 3.【二重积分的几何意义】 4.【物理意义】 表曲顶柱体的体积. 1)若 表曲顶柱体体积的负值. 2)若 3)若 表区域D的面积. ［几个特殊结果］ 根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D（特殊分割的二重积分与任意分割的二重积分相等） 故二重积分可写为 D 则直角坐标系下面积元素为 即 【性质1】 【性质2】 （二重积分与定积分有类似的性质） 三、二重积分的性质 逐项积分 【线性性质】 线性性质可以推广至有限个函数的情形。 【性质3】 对区域具有可加性 【性质4】 若 为D的面积， 【性质5】 若在D上 特殊地 则有 比较性质 （请从几何上给予解释） 【性质6】 【性质7】 （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 【几何意义】曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积 【证明】 以下仅证性质7（中值定理） 由估值性质得 据有界闭域上的连续函数的介值定理 变形后 【得证】 【例1】 比较下列积分的大小: 其中 【解】积分域D 的边界为圆周 它与x 轴交于点(1,0) , 而区域D位 从而 于直线的上方, 故在 D 上 作业题、课后习题 【解】 【解】 * 3.利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化 计算二重积分. * 注意: 【例4】1.设函数 D 位于x 轴上方的部分为D1 ,在D上 当区域关于y 轴对称, 函数关于变量x 有 在闭区域D上连续, D关于x 轴对称, 则 则 奇偶性时,仍有类似结果. 在第一象限部分, 则有 【说明】将该结论熟记，对以后计算带来很大方便.（要兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性） 【例如】 二重积分的定义 二重积分的性质（7条） 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） （积分和式的极限） 四、小结 二重积分的物理意义（平面薄片的质量） 【思考题】 1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处. 2.在二重积分定义中能否用 来代替 ? 为什么? 1.定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数． 【思考题解答】 2.不能. 【练习】——机动 被积函数相同, 且非负, 【解】 由它们的积分域范围可知 1. 比较下列积分值的大小关系: 2. 设D 是第二象限的