§ 抛物面.doc

§4.6? 抛物面 一、椭圆抛物面 ?1．在直角坐标系下,由方程 +＝2z 所表示的曲面叫做椭圆抛物面, 该方程叫做椭圆抛物面的标准方程, 其中a, b为任意正常数. 2. 椭圆抛物面的图形（如图4-7）. (1) 曲面的对称性：椭圆抛物面关于yOz, zOx坐标面以及z轴对称, 但它没有对称中心, 它与对称轴交于点(0, 0, 0), 这点叫做椭圆抛物面的顶点. (2) 曲面与坐标轴的交点：椭圆抛物面通过坐标原点, 且除原点外, 曲面与三坐标轴没有别的交点. (3) 曲面的存在范围：椭圆抛物面全部在xOy坐标面的一侧, 即在z≥0的一侧. (4) 被坐标面截得的曲线 ?①?? ?②?? ?③ ①表示一点(0, 0, 0), 而②与③分别为xOz与yOz坐标面上的抛物线, 它们有着相同的顶点和相同的对称轴即z轴, 开口都向着z轴的正向,都叫做椭圆抛物面的主抛物线. (5) 被坐标平面的平行平面所截得的曲线：用平行于xOy坐标面的平行平面z＝h(h0)来截椭圆抛物面, 得截线方程为 ??????????? +＝1.?????????????? ④ 椭圆抛物面可看成是由椭圆族④所生成, 这族椭圆中的每一个椭圆所在的平面与xOy坐标面平行, 两顶点分别在双曲线②与③上. 用平行于xOz坐标面的平面y＝k来截割椭圆抛物面,所截得的曲线为抛物线 用平行于yOz坐标面的平面来截椭圆抛物面所得的截线也是抛物线. 若a＝b, 则椭圆抛物面就是旋转抛物面. 3. 椭圆抛物面的参数方程为 ? (u, v是参数) 二、双曲抛物面 1. 在直角坐标系下, 由方程 －＝2z 所表示的曲面叫做双曲抛物面, 如图5-8, 该方程叫做双曲抛物面的标准方程, 其中a, b为任意正常数. 2. 双曲抛物面的图形（如图4-8）. (1) 曲面的对称性：双曲抛物面关于xOz坐标面, yOz坐标面以及z轴都对称, 但它没有对称中心. (2) 曲面与坐标轴的交点：双曲抛物面通过原点, 且除原点外与三坐标轴没有其它交点. (3) 被坐标面所截得的曲线：双曲抛物面被xOy坐标面截得的曲线方程为 ????????????????????? ⑤ 这是一对相交于原点的直线 与 被xOz与yOz坐标面截得的曲线方程分别为 ?? ⑥??????????????? ????????⑦ 这两抛物线叫做双曲抛物面的主抛物线, 它们有着相同的顶点与相同的对称轴, 即z轴, 但开口方向相反. (4) 被坐标面的平行平面所截得的曲线：用平行于xOy坐标面的平面z＝h来截割双曲抛物面, 得截线方程为 ??????? ?????????????⑧ 这是双曲线, 当h0时, 双曲线⑧的实轴与x轴平行, 虚轴与y轴平行, 顶点(±a, 0, h)在主抛物线⑥上; 当h0时,双曲线⑧的实轴与y轴平行, 虚轴与x轴平行, 顶点(0, ±b,h)在主抛物线⑦上. 用分别平行于xOz与yOz坐标面的平面y＝k与x＝t来截曲面,其截线都是抛物线, 方程分别为 ? ⑨??? ????⑩ 抛物线⑨的对称轴平行于z轴, 且开口方向与z轴正向相同, 顶点(0, k, －)在主抛物线⑦上; 抛物线⑩的对称轴也平行于z轴, 但开口方向与z轴的正向相反, 顶点(t, 0, )在主抛物线⑥上. 双曲抛物面也叫做马鞍曲面. 椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面, 它们都没有对称中心,所以又都叫做无心二次曲面. 3. 双曲抛物面的参数方程为 ?? (u, v为参数) 例1. 在空间直角坐标系中, 求与直线 l1：＝＝? 和? l2：＝＝ 共面且与平面 ?：x－y－5＝0平行的直线所组成的轨迹. 解：设满足条件的直线方程为 ＝＝， 由直线与l1共面得 ＝0, 或??? (4y0＋z0－4)X＋(－4x0＋z0＋4)Y＋(－x0－y0＋z)Z=0.????? ① 由直线与l2共面得 ＝0, 或?????????????? z0X＋z0Y＋(―x0―y0)Z＝0.???????????????? ② 由直线平行于平面? 得 X－Y＝0.???????????????????????? ③ 因为X, Y, Z不全为零, 所以由上面①、②、③构成的齐次线性方程组应有非零解, 因而 ＝0, 化简得?????????????????? x02－y02＝z0. 其中 (x0, y0, z0) 表示所求直线上的点, 从而满足条件的直线所组成的轨迹是 双曲抛物面 x2－y2＝z. 例2. 适当选取坐标系, 求下列轨迹的方程： (1) 到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹; (2) 与两给定异面直线等距离的点的轨迹,已知两异面直线之间的距离为2a, 夹角为2?. 解:(1) 设定点到定平面的距离为h0, 常数c0. 取定平面为xOy平面, z轴