平面向量基本定理;平面向量的正交分解及坐标表示.doc

2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 教材分析 本节内容是数学必4 第二章 第三节的第一课，平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段 掌握了平面向量基本定理可以使向量的运算完全代数化将数与形紧密地结合起来这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度所以是本节的难点1课时的时间完成，主要讲解平面向量基本定理、 向量的运算代数化将数与形紧密地结合起来这样几何问题就转化为学生熟知的数量运算1．与向量的积是一个向量，记作：a （1）|a |=|||a |（2）a与a方向相同；时a与a方向相反；时a =0 2．运算定律 结合律：( a)=() a ；分配律：(+) a=a+a， (a+ b)=a+b 3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =a. 问题1：向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？ 问题2：什么叫向量的模？零向量、单位向量、平行向量分别是什么概念？ 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？ 5.在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论. 【设计意图】复习回顾，设置物理情境，便于学习新知． 【设计说明】学生探究回答． 二、探究新知 探究一：平面向量基本定理 思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？ 【设计意图】使学生在已有知识的基础上，探索新知，引出本课题． 【设计说明】教师引导大家回答演示． 思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平行四边形？ 思考3：在下列两图中，向量不共线，能否在直线OA、OB上分别找一点M、N，使 ？ 【设计意图】从两个角度让学生感知体会任意向量可以在给定的方向上分解． 【设计说明】教师引导同学回答并演示． 思考4：若上述向量e1，e2，a都为定向量，且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？是否唯一？ 思考5：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？ 【设计意图】体会感知唯一性及普遍性． 【设计说明】师生互动探究，由浅入深，逐步引出主题． 思考6：根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？ 若e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 【设计意图】培养学生归纳总结规律与特点，并能做到言简意赅． 【设计说明】教师引导，大家各抒己见，找同学发言． 思考7：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？ 【设计意图】进一步探究几个关键点： (1) 我们把不共线向量e1 ,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1 ,e2的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. 1 ,2是被a ,e1 ,e2唯一确定的数量． ． 【设计说明】注意引导鼓励大家去发现，大家可能探究不是很全面，可以小组讨论． 探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示 思考1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作 a， b，如图.为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？ 思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ 思考3：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a