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多元数据的正态性检验 摘 要：本文对多元正态性检验的两种主要方法——统计量的Q-Q图检验法和主成分检验法进行了讨论，介绍其基本原理、具体实施步骤，通过实例分析进行应用研究，并比较它们的优劣，发现主成分检验法的实用性和应用价值更强. 关键词：多元正态性 统计量 Q-Q图检验法 主成分检验法 The Normality Test for Multivariate Data Abstract: In this paper, we discuss two main methods of multiple normal tests, Q-Q chart test and principal component test, introduce the basic principle and the specific implementation steps, research through studying the case, and compare their advantages and disadvantages. We found that the principal component test is better than Q-Q chart test in practicality and applied value. Key words: Multivariate normality; Chi-square statistic; Q-Q char test; Principal component test 引言 正态分布在学习中是一种很重要的分布，在自然界中占据着很重要的位置，它能描述许多随机现象，从而充当一个真实的总体模型.尽管在学习中我们总是碰到很多问题的总体服从正态分布，然而,在一个实际问题中，总体一定是正态分布吗？一般的讲,所作统计推断的结论是否正确，取决于实际总体与正态总体接近的程度如何.因此，建立一些方法来检验多元观测数据与多元正态数据的差异是否显著是十分必要的.如今，一元数据的正态检验的理论已相当成熟，但对于多元数据的正态性检验问题还处在摸索前进的阶段，没有形成行之有效、有足够说服力的检验方法.本文将在第一节中介绍文中用到的一元正态性检验的两种基本方法：图方法和矩法；第二节中介绍统计量的Q-Q图检验法基本原理和检验步骤；第三节中介绍主成分正态检验法的基本原理和检验步骤；第四节中通过两个实例做应用分析；第五节中对这两种方法在应用中的优劣做比较分析. 1 一元正态性检验的方法 鉴于一元数据正态性检验的多样性，本文不一一介绍，只介绍本文中用到的检验法和偏峰检验法. 1.1 图方法 设是来自总体的随机样本，检验.如果没有关于样本的附加信息可以利用，首选推荐的是利用正态概率纸画图.它让人们立即看到观测的分布是否接近正态分布. 对于一张正态概率纸，它的横轴的刻度是均匀的，纵轴按标准正态分布的分位数均匀刻度，标上相应的值.正态概率纸上的坐标轴系统使正态分布的分布函数呈一条直线. 利用正态概率纸检验一组观测值是否服从正态分布，可以按如下步骤进行: 把个观测值按非降次序排列成. 然后把数对()()点在正态概率纸上.如果所画的个点明显地不成一条直线，则拒绝原假设.如果这些点散布在一条直线附近，则可以粗略地说，样本来自正态分布.这时，可以凭直觉配一条直线，使它离各点的偏差尽可能地小，其中在纵轴刻度为50%附近各点离直线的偏差要优先照顾，使其尽可能地小，并且使直线两边的点数大致相等.如果发现得到的点系统地偏离一条直线，在拒绝原假设后，可以考虑备择假设的类型.特别，如果几个较大的值明显地倾向于由其它值确定的直线的下方，作或等变换可能使图形更符合一条直线. 这种方法也就是人们常说的P-P图法或Q-Q图法. 1.2 矩法 矩法，也称动差法、偏峰检验法，它是利用中心距的概念引入的两个量，正态分布的这两个量有着很好的特征，因此，常用这两个量进行正态性检验. 总体的偏度是刻画分布的对称程度的量，记为 , (1.2.1) ,的分布对称；，称为正偏；，称为负偏. 总体的峰度是衡量的概率分布密度陡峭程度的量，记为 , (1.2.2) 正态分布的偏度为0，峰度为3.一个分布如果远离0或远离3，则可认为它与正态分布相差很大，为了检验样本是否来自正态总体，先计算偏度和峰度的估计量， . 当总体服从正态分布且样本容量很大时，统计量和近似正态分布，且有，，如果以下不等式，，只要有一个不成立，就认为总体不服从正态分布[4]. 2 统计量的Q-Q图检验法 2.1 统计量的Q-Q图检验法的原理 为了充分解释统计量的Q-Q