第01章矢量和场论基础讲述.ppt

体微分元 面微分元 线微分元 ，如图1-17所示。 ，如图1-17所示。 ，如图1-18所示。 图1-17 面微分元和体微分元 图1-18 线微分元 单位矢量的变换 任意矢量的变换 (c) 的投影。 图1-19 球坐标系和直角坐标系单位矢量间的变换 (b) 的投影 (a) 的投影 （见图1-19） 例 1.3 在圆柱坐标系中一点的坐标为 { }= {4,2?/3,3}，试求该点分别在直角坐标系和球坐标系中的坐标。 解 利用圆柱坐标与直角坐标的关系可得 利用圆柱坐标与直角坐标的关系可得 例 1.4 在柱坐标系中点 P(3,?/6,5)有一矢量 A=3 +2 +5 ，在另一点Q(4,?/3,3)有一矢量 B = ，在点 S(2,?/4,4) 处有矢量 C=A+B，试求C矢量。 解 显然A和B两矢量不在同一 =常数的平面上，在柱坐标系下不能直接按分量形式求和，首先必须把在柱坐标系下的矢量变换到直角坐标系。 P点矢量A的直角坐标表示为 同理， Q点矢量B的直角坐标表示为 于是得 再将C变换到柱坐标系中点S(2,?/4,4)处的矢量 1.5 场论 一、数量场的等值面和矢量场的矢量线 数量场的等值面 　　描述场量的函数包含了场分布和变化的所有信息。借助于等值面、等值线和矢量线可直观描述场在空间的分布和变换规律；但这只是整体性描述。如果要了解场的局部特性，即考虑场在空间每个点沿各个方向的变化情况，对于标量场，需要引入方向导数和梯度的概念；对于矢量场，需要引入散度和旋度的概念。 标量场 u 的等值面方程为 图1-20 标量场的等值面 常数 c 取不同的值，就得到不同的等值面，如图1-20所示。等值面充满标量场所在的整个空间，由于 u(x, y, z)单值，等值面互不相交。 同理，如果标量场是二维函数 u(x, y)，则对应的是平面场，可令u(x, y)=c 得到平面 场的等值线。比如地形图上的等高线，地面气象图上的等温线、等压线等，都是平面标量场等值线的例子。 矢量场的矢量线 矢量场 A(x, y, z)的直角坐标表示为 所谓矢量线是这样的曲线，在曲线上每一点处矢量场的方向都在该点的切线方向上，如图1-21所示。 图1-21 矢量场的矢量线 静电场的电力线、磁场的磁力线和流速场的流线等都是矢量线的例子。 假设 P(x, y, z) 为矢量线上任一点，则过点 P 沿矢量线的位移元 dr 与矢量 A(x, y, z)共线。 共线矢量 dr 与 A(x, y, z) 满足 或 (1-64) 此即矢量线所满足的微分方程组。求解该方程组可得一矢量线族；矢量线通常互不相交。 例 1.5 有一二维矢量场 F(r) = -yex+xey，求矢量线方程，并定性画出该矢量场的图形。 解 由场的表达式可知，Fx= -y，Fy=x，则根据式（1-64）可得到矢量线的微分方程为 求解该微分方程，得到矢量线方程为 可见，该矢量场的矢量线 为同心圆，见图1-22。 图1-22 二维场的矢量线 二、标量场的梯度和方向导数 标量场u(x, y, z)的两个等值面u和u+du如图1-23所示，根据全微分的定义，有 图1-23 方向导数和梯度 P点到Q点的位移元为 （1-65） （1-65）式两边同除以微分元的长度dl ，得到标量场u(x, y, z)在P点沿dl 方向的方向导数 设位移元 dl 的方向余弦为{ }，即 所以方向导数表示为 其中 ——u的梯度 ——dl的单位矢量 引入梯度算子 由 u的梯度表示为 可知 当al与G平行时，方向导数 取得最大值|G|。 梯度的方向是标量u随空间坐标变化最快的方向；梯度的大小表示标量u的空间变化率的最大值。 梯度矢量 的的物理意义 所以 梯度在柱坐标系下的表达式 梯度在球坐标系下的表达式 梯度在直角坐标系下的表达式 例1.6 求标量函数u(x, y, z)=x2yz的梯度，并求在空间坐标点P(2, 3, 1)处，沿方向 的方向导数。 解 代入P点的空间坐标 (2,3,1)，得方向导数值为 三、矢量场的通量和散度 通量的定义 图1-24 通量定义 如图，矢量场A=A(x, y, z)在有向曲面S上的通量定义为 式中dS为曲面S上任取的面微分元，法线方向为n，dS=ndS。 面元dS的法向n与张着S的环线L满足右手螺旋关系。 在直角坐标系中有 对闭合曲面n取外法向为正，总通量表示为 闭合曲面的通量从宏观上建立