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第十二章 无穷级数习题课资料 丁金扣 本章主要内容 常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。 本章重点 用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。 本章难点 用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。 例题选讲 例1：判别级数的敛散性。（用定义） 解：原式= 级数的部分和 ， 所以原级数收敛，且收敛于。 例2：证明级数收敛。（利用柯西审敛原理） 证明： 得， 对任意的，取，则当时，对所有，都有， 故原级数收敛。 例3：判别下列级数的敛散性 （1） ， （2） ， （3） （4） ，（5），（） （6） 解：（1）因为，所以， 而 ， 有 ， 由比较审敛法知，级数收敛。 （2）因为 ，又收敛，所以原级数收敛。 （3）用根值法 ，所以原级数收敛。 （4） 所以 有比较法知，原级数收敛。 （5）比值法：， 当时，，级数收敛， 当时，，级数收敛， 当时，，级数收敛。 所以，当时，级数收敛。 （6），所以原级数收敛。 例4：判断级数的敛散性。 解： ，又，知级数发散，从而发散，即级数非绝对收敛。 因为，且在内单调减少，由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。 例5：证明级数收敛。 证：设，则原级数为， 又，即在内单调下降， 从而，且，由莱布尼兹判别法知，原级数收敛。 例6：设数列为单调增加的有界正数列，证明级数收敛。 证明：因为数列为单调增加有上界，所以极限存在。设，考虑 而级数存在，由比较审敛法知，原级数收敛。 例7：求下列幂级数的收敛域 （1） ， （2） ，（3） 解：（1），所以收敛半径为，收敛区间。 时，级数发散；时，收敛。所以收敛域为。 （2）令，原级数为 因为，所以收敛半径。又时级数发散，时级数收敛，故其收敛域为： 再由，解得原级数的收敛域为。 （3），所以收敛半径，收敛区间为： ，即 当时，原级数收敛，当时，原级数发散。 得原级数的收敛域为。 例8：求下列级数的和函数 （1） ，（2） ，（3） 解（1） 所以收敛半径，收敛域为：。 即和函数。 （2），所以收敛半径。 又时，原级数发散，所以级数的收敛域为。 设级数的和函为，对幂级数逐项积分得， ， 对上式两边求导得 ， 。 （3）易求级数的收敛域为。记级数的和函为， 因为， 所以 ， 即， 对上式两端求导得： 故有， 当时，由所给级数知。因此 例9 把级数 的和函数展开成的幂级数。 解：记级数的和函为， 即 ， 例10 求级数的和。 解：设 故级数。 例11 设，试将展开成的幂级数。 解： 所以， 。 例12 设，在上收敛，试证：当时，级数必定收敛。 证明 由已知收敛，所以，从而有界。即存在，使得 ， ，所以 右端对应的级数显然收敛，所以级数收敛，且为绝对收敛。 例13 求的近似值，误差不超过。 解 因为 故。 例14 求函数的傅立叶展开式。 解：分段连续，满足展开定理条件 ， ， 另求： ， 另求： 所以函数的傅立叶级数为： 。 例15 已知函数，是周期为的周期函数， 求的傅立叶级数； 证明； 求积分的值。 解：（1） 所以有 由收敛定理，时，级数收敛于， 又是连续点，所以即： 。 （2）当时，有，亦即：。 （3）积分是广义积分，是瑕点，由广义积分的定义的