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第5章 数字滤波器的基本结构 ;5.1 数字滤波器的结构特点与表示方法 ; 数字滤波器一般可以用两种方法实现： 一种是根据描述数字滤波器的数学模型或信号流图，用数字硬件装配成一台专门的设备，构成专用的信号处理机；; 数字滤波器是离散时间系统，所处理的信号是离散时间信号。 一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入、输出服从N阶差分方程 ;例如： ;图 5-1 三种基本运算的流图 ;5.2 IIR滤波器的结构 ;从图上可以看出，直接Ⅰ型结构需要2N个延时器和2N+1个乘法器。 ;5.2.2 直接Ⅱ型 直接Ⅱ型结构又称为正准型结构。由图5-2，直接Ⅰ型结构的系统函数H(z)也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。输入信号x(n)先通过系统H1(z)，得到中间输出变量y1(n)，然后再把y1(n)通过系统H2(z)得到输出信号y(n)。 即 ;式中, ; 假设所讨论的IIR数字滤波器是线性非时变系统，显然交换H1(z)和H2(z)的级联次序不会影响系统的传输效果，即 ;图 5-3 直接Ⅰ型的变形结构 ;5.2.3 级联型  若把式(5-2)描述的N阶IIR滤波器的系统函数H(z)的分子和分母分别进行因式分解，得到多个因式连乘积的形式 ;(5-5) ;图 5-5 级联型结构 ; 在级联型结构中，每一个一阶网络只关系到滤波器的一个零点、一个极点；每个二阶网络只关系到滤波器的一对共轭零点和一对共轭极点。调整系数β0j、β1j和β2j只会影响滤波器的第j对零点，对其他零点并无影响；同样, 调整分母多项式的系数α1j和α2j也只单独调整了第j对极点。因此，与直接型结构相比， 级联型结构便于准确地实现滤波器零、极点的调整。此外，因为在级联结构中，后面的网络的输出不会流到前面，所以其运算误差也比直接型小。 ;5.2.4 并联型 把传递函数H(z)展开成部分分式之和的形式，就可以得到滤波器的并联型结构。 当N=M时，展开式为 ; 并联型结构也可以单独调整极点位置，但对于零点的调整却不如级联型方便，而且当滤波器的阶数较高时，部分分式展开比较麻烦。在运算误差方面，由于各基本网络间的误差互不影响， 没有误差积累， 因此比直接型和级联型误差稍小一点。;5.3 FIR滤波器的结构 ;根据式（5-7）或式（5-8）可直接画出如图5-7所示的FIR滤波器的直接型结构。 由于该结构利用输入信号x(n)和滤波器单位脉冲响应h(n)的线性卷积来描述输出信号y(n)，所以FIR滤波器的直接型结构又称为卷积型结构， 有时也称为横截型结构。 ;5.3.2 级联型 当需要控制系统传输零点时，将传递函数H(z)分解成二阶实系数因子的形式： ;5.3.3 频率采样型 由频域采样定理可知，对有限长序列h(n)的Z变换H(z)在单位圆上做N点的等间隔采样，N个频率采样值的离散傅里叶反变换所对应的时域信号hN(n)是原序列h(n)以采样点数N为周期进行周期延拓的结果，当N大于等于原序列h(n)长度M时hN(n)=h(n)，不会发生信号失真，此时H(z)可以用频域采样序列H(k)内插得到， 内插公式如下： ;式(5-10)为实现FIR系统提供了另一种结构。H(z)也可以重写为 ;图 5-9 梳状滤波器 ; 第二部分是由N个一阶网络组成的并联结构，每个一阶网络在单位圆上有一个极点 ;图 5-10 FIR滤波器的频率采样型结构 ; FIR滤波器的频率采样型结构的主要优点： 首先，它的系数H(k)直接就是滤波器在ω=2πk/N 处的响应值，因此可以直接控制滤波器的响应；;但是该结构也有两个缺点： ; 为了克服上述缺点， 对频率采样结构作以下修正。  首先，单位圆上的所有零、极点向内收缩到半径为r的圆上， 这里r稍小于1。此时H(z)为 ; 根据DFT的共轭对称性，如果h(n)是实序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(N-k)。又因为 ，为了得到实系数，我们将Hk(z)和HN-k(z)合并为一个二阶网络， 记为Hk(z);式中: ;; 这时的H(z)如式(5-14)，其结构如图4-12所示。图中Hk(z), z=1, 2, …, N/2-1 的结构如图 4.11 所示。 ; 一般来说，当采样点数N较大时，频率采样结构比较复杂， 所需的乘法器和延时器比较多。但在以下两种情况下，使用频率采样结构比较经济。 ;图5-12 频率采样修正结