基于Matlab的数值积分公式问题.doc

数值分析 学 号： 学 生 姓 名 ：教 师 ： 教师 2数值积分算法介绍..................................................1 2.1数值求积公式的构造............................................1 2.2求积公式的推导................................................2 2.3常见的牛顿-科特斯求积公式.....................................5 2.4复合求积公式..................................................7 3关于河流横断面积的数值积分问题....................................8 4问题的求解过程....................................................9 5基于MATLAB编程的各种求积公式对问题的求解.........................9 6总结.............................................................13 参考文献 ..........................................................14 附录...............................................................15 1 引言 实际问题当中常常需要计算积分。有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系。 在一元微积分学中,对于积分 ， 只要找到被积函数f（x）原函数为F( x) ,求f(x)在该区间上的定积分便可用牛顿 - 莱布尼兹公式求解,即 。 用牛顿 - 莱布尼兹公式计算定积分的方法在理论上和解决实际问题中起到了很大的作用 ,但它并不能解决定积分计算的所有问题。在工程技术领域常遇到十分复杂的情况而无法用牛顿 - 莱布尼兹公式求解.其可能出现的情况有: 某些被积函数f(x),其原函数无法用初等函数表示 ,如 ， 等。 函数f(x)结构复杂,求其原函数非常困难。 函数f(x)的结构虽然简单且其原函数存在,但其原函数的结构相对复杂。 函数f(x)没有具体的表达式,只有一些由试验测试数据形成的表格或图形。 而在这些情况下 ,可采用 “数值积分”的方法求出定积分(近似值) 。 2 数值积分算法介绍 2.1数值求积公式的构造 大多数实际问题的积分是需要用数值积分方法求出近似结果的。数值积分原则上可以用于计算各种被积函数的定积分，无论被积函数是解析形式还是数表形式，其基本原理都是用多项式函数近似代替被积函数，用多项式的积分结果近似代替对被积函数的积分。由于所选多项式形式的不同，可以有许多种数值积分方法。而利用插值多项式来构造数值求积公式是最常用的一种方法。 对于积分，用一个容易积分的函数去代替被积函数，这样的自然以多项式为最佳，因为多项式能很好的逼近任何连续函数，而且容易求出其原函数。 2.2求积公式的推导 在积分区间上取有限个点，作的次插值多项式，其中，为次插值基函数。用近似代替被积函数， 则得 （2.1） 若记 （2.2） 则得数值求积公式 （2.3） 其中称为求积系数，称为求积节点。则称该求积公式为插值型求积公式。 为了便于计算与应用，常将积分区间的等分点作为求积节点，这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿-科特斯求积公式。 在积分区间上取个等距节点，其中，做次拉格朗日插值多项式，因为，所以 记 （2.4） （2.5） 截去第二项得 显然与无关，只与节点有关。令，则当时，，于是 （2.6） 而 从而得 记 （2.7） 则 故求积公式（2.3）可写成 （2.8） 这就是牛顿-科特斯求积公式，其中称为科特斯系数。 部分科特斯系数取值如下表2.1 科特斯系数具有以下特点 （1） （2） （3）当 ( 8 时，出现负数，稳定性得不到保