计算固体计算力学 - 第二章 非线性方程组的解法汇总.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * 求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用这种方法需要知道“荷载”项(R)为零时问题的解(a)0。在实际问题中，(R)经常代表真实荷载，(a)0 代表结构位移。在问题的初始状态，它们均为零。这种从问题的初值开始，随着荷载列阵(R)按增量形式逐渐增大，研究(a)i的变化规律的方法，称为增量方法。 当问题的性质与加载的历史有关时，如弹塑性问题，则必须采用增量方法。 2.4 增量方法 设“荷载”(R)在任一增量步的值为λ(R)，λ 为荷载增量因子，(R)为标准荷载列阵,则非线性方程Ψ(a)= 0可写为 引入切线矩阵且略去高阶小量后可改写为 Ψ(a,λ)=P(a)-λR=0 若λ+Δλ时的解答为a+Δa，象牛顿法一样，将Ψ (a+Δ(a)),λ+Δλ) 按Taylor级数展开，则可得 设荷载增量因子λ分别取如下值 am+1=am+Δam 则荷载(R)可分成M级，第m级荷载为λmR，其增量为(λm+1-λm)R=ΔλmR。 由此可得：Δam=[KT(am,λm)]-1ΔλmR 在以上各式中，下标m表示增量步的步数，而λm=1的解对应于Ψ(a)=P(a)-R=0的解。 在一个自变量的情况下，求解非线性方程组的过程如下图所示。如果Δλm足够小，则认为所得解即为方程组的合理的近似解。 但是，在计算的每一步，都会引起某些偏差，结果使解答漂移，而且随着求解步数的增多，这种偏差不断积累，以致 最后的解将偏离真解较远。 自修正算法，在增量法每一增量步进行自修正的迭代计算。其m增量步n次迭代的计算公式为 自修正 不平衡力 使用这种改进的算法，对于每一增量步都相当于做一次修正。 所谓混合法是指，在增量法每一增量步进行自修正的迭代计算。其m增量步n次迭代的计算公式为 在实际计算中，对于 m＜M-1的各增量步的计算，可以只进行少许几次(例如3次)迭代，而对于m=M-1，即最后的一个荷载增量，需要使用较多次迭代，以使近似解更接近于真解。 返首页 自修正 不平衡力 用混合法求解时，所选取的荷载增量的步长可以比普通增量算法的步长大一些。 用迭代法或增量法进行极限分析时，在极值点附近往往可能不收敛。这时可用增量弧长法来解决。 为便于理解，以杆单向拉伸为例加以说明。 增量弧长法的基本思想是：将λ作为独立变量，在每个增量步进行自修正法平衡迭代，在迭代过程中自动控制荷载因子λ的取值。也即 前步结果 本步n次增量 如图所示，矢径可表达为 u u u 有 由于弧长法引入了如下约束方程 由此可得 由矢量代数和约束方程可得 也即 若记 因此 要求交叉项为零 则 式中系数为 上述式子是从简单情况推出的，如果除 外均理解为矩阵，即为一般情况的弧长法方程。 将其代入约束方程，可得 这样做迭代的轨迹很接近圆弧，而计算工作量可减少很多。 从上述公式可见，求 的工作量是很大的，为此，可令 和 相互垂直，也即 由相互垂直的条件可得 综上所述，弧长法求解步骤为： 1)选定荷载参考值 ，和本步荷载因子 ，解得 ，由 求弧长。 2)修改切线刚度矩阵并三角化。检查对角元，正定则加载，负定则加负荷载。若矩阵对应行列式为零，达到极限荷载。 3)与上一步同时，求不平衡力 。 4)由 和 求 和 。 自修正法平衡迭代 5)计算荷载因子 。 6)计算 。 7)求当前荷载水平和位移。 8)检查是否满足精度要求，满足时加下一级荷载。不满足重复2）~7），直至收敛。 本章结束！ * * * * * * * * * * * * * * * * * * 计算固体计算力学 * 博士研究生课程 计算固体力学 课程编号：017090 王生楠，谢伟 西北工业大学 航空学院 非线性问题可分为三类：材料非线性、几何非线性和边界非线性。我们只讨论前两类问题。 不管那类非线性问题，经过有限元离散之后，最终都归结为求解一个N个变量，N个方程的非线性方程组。 第二章 非线性方程(组)的常用解法 上述方程组可简单的用一个矢量方程表示 Ψ(a)=0，a为待求的未知量。 Ψ(a)=0可写成平衡方程的形式 Ψ(a) =P(a)-R=K(a) a -R=0 对非线性方程Ψ(a)=0，一般只能用数值方法求近似解答。其实质是，用一系列线性方程组的解去逼近所讨论非线