高一数学数列求通项公式的常用方法.doc

求递推数列通项公式的常用方法 一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？ ， ， ，又， . 跟踪训练1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列. 二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法. 例二 已知数列中，，，求数列的通项公式. 【解析】：，，， 猜测，再用数学归纳法证明.（略） 跟踪训练2.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有自然数，与1的等差中项等于与1的等比中项，求数列的通项公式. 三 累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）. 例三 已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，，求数列的通项公式. ,,=1+++=. 跟踪训练3.已知,,求数列通项公式. 四 累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积). 例四 已知,,求数列通项公式. 【解析】：,,又有= 1×=,当时，满足，. 跟踪训练4.已知数列满足,.则的通项公式是. 五 构造新数列: 将递推公式（为常数，，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列. 例五 已知数列中, ,,求的通项公式. 【解析】:利用,求得,是首项为 ,公比为2的等比数列,即, 跟踪训练5.已知数列中, ,求数列的通项公式. 六 倒数变换：将递推数列,取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换. 例六 已知数列中, ,,求数列的通项公式. 【解析】:将取倒数得: ,,是以为首项,公差为2的等差数列. ,. 跟踪训练6.已知数列中, ,,求数列的通项公式. 参考答案: 证明：由已知可得：，当时，时， 满足上式. 的通项公式,时为常数,所以为等比数列. 解:由已知可求,,,猜测.(用数学归纳法证明). ,= . 4.时, , 作差得: ,,,,, ,,,. 5. 6. 数列 求递推数列通项公式 基础类型 类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列满足，，求。 解：由条件知： 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ， 类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列满足，，求。 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又， 例3:已知， ，求。 解： 。 变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项 解：由已知，得，用此式减去已知式，得 当时，，即，又， ，将以上n个式子相乘，得 类型3 （其中p，q均为常数，）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例4:已知数列中，，，求. 解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以. 变式:在数列中，若，则该数列的通项_______________ （key:） 类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。 例5:已知数列中，,，求。 解：在两边乘以得： 令，则,解之得：所以 类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。 解 (特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。 若是特征方程的两个根， 当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）； 当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。 例6: 数列：， ,求 解（特征根法）：的特征方程是：。, 。又由，于是 故 练习:已知数列中，,,，求。 。 变式:已知数列满足求数列的通项公式； （I）解： 类型6 递推公式为与的关系式。(或) 解法：利用与消去 或与消去进行求解。 例7：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式. 解：（1）由得： 于是所以. （2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得： 由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 类型7 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。 例8：已知数列｛｝中，，求数列 解：由两边取对数得， 令，则，再利用待定系数法解得：。 类型8 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。 例9：已知数列｛an｝满足：，求数