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（一）求（定）值类型几何综合题 例1（2008福建省宁德市）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE． （1）求证：CE＝CF； （2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长． 1）证：∵正方形ABCD ∴∠B=∠FDC BC=DC ∵DF=BE ∴△ ∴CE=CF （2）成立 证:∵△EBC≌△FDC ∴∠BCE=∠DCF ∵∠GCE=45° ∴∠BCE+∠GCD=45° ∴∠DCF+∠GCD=45° ∵EC=FC,CG=CG ∴△ECG≌△FCG ∴GE＝DF＋GD ∵BE=EF ∴GE＝BE＋GD （3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G， 在直角梯形ABCD中， ∵AD∥BC，∠A=∠B=90°， 又∠CGA=90°，AB=BC， ∴四边形ABCD为正方形． ∴AG=BC=12． 已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG， 设DE=x，则DG=x-4， ∴AD=16-x． 在Rt△AED中 ∵DE2=AD2+AE2，即x2=（16-x）2+82 解得：x=10． ∴DE=10． 例2 如图1，在中，，，是等边三角形，是的中点，连结并延长交于． （1）求证：①；②四边形是平行四边形； （2）如图2，将四边形折叠，使与重合，为折痕，求的值． 解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=2， ∴BC=1 2 AB=1； （2）由（1）得BC=1， ∴AC= 3 ， ∵△ABD是等边三角形， ∴AD=2， 设DH=x，由折叠得：DH=CH=x， ∴在Rt△ACH中， 由勾股定理得：（2-x）2+3=x2， 解得：x=7 4 ∴sin∠ACH=AH CH =1 7 ． 例3已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）． （1）求证：BM=DN； （2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形； （3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰3，求的值． 1)求证BM=DN. 证：∠BOM=∠DON (对顶角相等) ∠MBO=∠NDO (平行线的内错角相等） BO=OD (矩形的对角线互相平分). △BMO≌△DNO. (ASA) ∴BN=DN (全等三角形的对应边相等）。 (2)求证四边形AMCN是菱形. 【原题有误，AMND不能构成四边形】 在四边形AMCN中，MC∥AN,且MC=AN 【AD=BC,BM=DN, BC-BM=AD-ND,即MC=AN】 ∴四边形AMCN为平行四边形。AC与MN是平行四边形AMCN的对角线， 又因四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折而成，且C点与A点重合，故AC⊥MN. 即，平行四边形的两条对角线互相垂直，故该四边形为菱形。 (3) 角MAN=60° 由于两个三角形的高相等，底边不等，其面积之比=底边之比，即DN：MC=1：2. MC=2DN. 由(2)已解出MC=CN, ∴CN=2DN. 在Rt△CDN中，sin∠DCN=DN/CN=DN/2DN=1/2. ∴ ∠DCN=30°, ∠MCN=90°-30°=60°. 由∠MAN=∠MCN=60°(菱形四边形的对角相等). 例4已知中，，、是边上的点，将绕点旋转，得到△，连结． （1）如图1，当，时，求证：． （2）如图2，当时，与有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． （3） 如图3，在（2）的结论下，当，与满足怎样的数量关系时，是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）． 例5在中，，，取一块含角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边边的中点处（如图1），绕点顺时针方向旋转，使角的两边与 的两边分别相交于点（如图2）．设，． （1）探究：在图2中，线段与之间有怎样的大小关系？试证明你的结论； （2）若将直角三角尺角的顶点放在斜边边的中点处（如图3），绕点顺时针方向旋转，其他条件不变． ①