全等三角形的构造技巧.doc

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　北京四中　　　　　　　　　　　 撰稿：董嵩　　　 审稿：王正 　　　责编： 孙景艳　　　　　　　　　　　　　全等三角形的判定和构造一、本周教学目标二、本周教学重点和难点三、本周教学内容解析（一）典型例题1．如图所示，点、在直线上，，过点、分别作，，且．　　（1）如图（1），若与相交于点，试问与相等吗？试说明理由．　　（2）如图（2），若将的边沿方向移动至图中所示位置时，其余条件不变，（1）中　 　　　的结论是否仍然成立？请说明理由．　　　　　　　解：（1）．　　证明：，　　　　　，即，　　　　　又于点，于点，　　　　　在和中，　　　　　　　　　　≌（HL），　　　　　，　　　　　在和中，　　　　　　　　　　≌（AAS），　　　　　．　　（2）当的边移动后，仍然有．　　　　 证明：，　　　　　　　 ，即，以下证明过程同（1），故仍然有．2、添加辅助线，构造三角形全等．　　（1）【连接两点】　　2．如图，，．求证：．　　分析：本题的已知条件是四边形中两条线段AD、BC之间的位置关系和数量关系，而结论是关于两个角的数量关系，可以连接A、C两点，将四边形的问题转化为三角形全等的问题进行证明．　　证明：连接A、C．　　　　　，　　　　　．　　　　　在和中，　　　　　　　　　　≌（SAS）．　　　　　．　　小结：连接两点的时候一般不破坏已知元素（如两角）或求证的元素．　　（2）【截长补短】　　3．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB+BD=AC．　　方法一：截长法　　分析： 因为∠B=2∠C，所以AC＞AB，可以在AC上取一点E，使得AB=AE，构造△ABD≌△AED，把AB边转移到AE上，BD转移到DE上，要证AB+BD=AC．即可转化为证AE+BD=AE+EC，即证明BD=EC．　　证明：在AC上取一点E，使得AB=AE，连结DE．　　　　　在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠DAE，AD=AD，　　　　　∴△ABD≌△AED（SAS）．　　　　　∴ BD=DE，∠B=∠AED．　　　　　又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C，　　　　　∴ ∠EDC=∠C．　　　　　∴ ED=EC．　　　　　∴ AB+BD=AC．　　方法二：补短法　　分析： 因为∠B=2∠C，所以AB＜AC，可以在AB的延长线上取一点E，使得AE=AC，构造△AED≌△ACD，把AC边转移到AE上，DC转移到DE上，要证AB+BD=AC．即可转化为证AB+BD=AB+BE，即证明BD=BE．　　证明：在AB的延长线上取一点E，使得AC=AE，连结DE．　　　　　在△AED和△ACD中，　　　　　AE=AC，∠BAD=∠DAC，AD=AD，　　　　　∴ △AED≌△ACD（SAS）．　　　　　∴∠C=∠E．　　　　　又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠E，　　　　　∴ ∠E=∠BDE．　　　　　∴ BE=BD．　　　　　∴ AB+BD=ＡE＝AC．　　方法三：补短法　　分析：若延长DB到点E，使得BE =AB，则有AB+BD=ED，只要证出ED=AC即可．　　证明：延长DB到点E，使得BE =AB，连结AE，　　　　　则有∠EAB=∠E，∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E．　　　　　又∠ABC=2∠C，　　　　　∴ ∠E＝∠C．　　　　　∴ AE=AC．　　　　　又　　　　　　　　　　又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+ ∠DAC=∠ADE，　　　　　∴ AE=DE．　　　　　∴ AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC．　　小结：线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等，将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上．上述前两种方法实际上是通过翻折构造全等三角形，目的是为了将转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起．证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫“截长法”．这两种方法是证明两条线段的和（差）等于另一条线段的常用方法．　　4．已知：如图，，、分别为、的平分线，点在上．　　　　　　求证：．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例4　　　　　　　　　　　　图（1）　　　　　　　　　　　　　　　　　 图（2） 　　分析：利用三角形全等，可以根据需要把线段“搬家”．因此