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费马大定理的初等证明 与商高不定方程的新解法 陈剑涛 （黄冈师范学院 湖北黄冈 438000） [内容摘要]本文通过一种简单的初等变换证明，若方程x n +y n z n 在 n 2 时有正整数解， 则方程 n n n n 2 n (p +1) −p q 在 时必有正有理数解。但可以证明，在 为大于 2的奇质数 时，后一方程并无正有理数解，从而断定费马大定理是可以用巧妙的初等方法予以证明的。 作为副产品，本文还得到了商高不定方程的一种同样巧妙的新解法。 [关 键 词] 费马大定理 初等证明 商高不定方程的新解法 虽然让世人魂牵梦萦几个世纪的费马猜想或费马大定理已由英国数学家安德鲁·怀尔 斯通过对谷山-志村猜想等的证明而给出了一个冗长、繁难的现代证明，但寻找某种费马所 谓的巧妙的初等证明仍是学界一个难了的夙愿。其实早在 1992 年底，笔者即发现了一种对 费马大定理的初等证明和对商高不定方程的一种新解法（后在一些数学界朋友的帮助下有所 修改），结果显示，费马大定理确如其本人所言，是可以通过某种巧妙的初等方法予以证明 的。 费马（Fermat）在 1637年提出猜想，认为方程 x n +y n z n ……………（1） 在n 2 时无正整数解，其中n 为自然数。此即已被怀尔斯证明了的费马猜想或费马大定理。 但本文认为，该定理亦可用初等方法予以证明。 用反证法。 设 为大于 2的任意正整数时，费马猜想不成立，即（1）式有正整数解，并设x , y ,z n 是 满足 的任意一组基础解（或称本原解），则显然有 和 (x , y , z ) 1 z y z x 成立。又因x ≠y n n （若x y ，则方程（1）变成了z 2 x 之形式，已非我们要讨论的费马猜想了），故在x, y 之中必有一个为更小。若设x 为其中之更小者，则必有z ≥x +2 成立。令z x =+k （k 为 大于或等于 2 的正整数），则（1）式可写为 n n n x +y (x =+k ) …………（2） 因 均为正整数，故必有正有理数 x y, k , p , q 存在，使x pk ,y qk 成立，代入上式， 有 n n n n n n n p k +q k ( pk =+k ) ( p =+1) k ……………（3） 即此时必有正有理数p , q 存在，使方程 p n +q n (p =+1)n 成立。亦即方程 1 (p +1)n −p n q n ……………（4 ） 在n 2 时有正有理数解。 由此可知，欲证明费马猜想成立，只需证明在 时，（4）式没有 n 2 p , q 同时为正整数 形式的正有理数解即可（