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* 大吉大利 * 大吉大利 * 大吉大利 * 大吉大利 * 大吉大利 §2 等可能概型与几何概型目 录 索 引 等可能概型（古典概型） 几何概型 第一章 概率论的基本概念 返回主目录 * 生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： ? 样本空间的元素只有有限个； ? 每个基本事件发生的可能性相同。 1． 等可能概型（古典概型） 比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。 我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。 第一章 概率论的基本概念 等可能概型 返回主目录 * e1 … … ek ? ? A 3 4 ? ? 北 南 西 东 e2 … … en 2 第一章 概率论的基本概念 等可能概型 返回主目录 * 设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性，得 }. { } { } { 2 1 n e =P e P e P L = = 又由于基本事件两两互不相容；所以 第一章 概率论的基本概念 等可能概型 返回主目录 * 若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A ={e1, e2, …ek }, 则有 ： 例 1 将一枚硬币抛掷三次。设： ? 事件 A1为“恰有一次出现正面”， ? 事件 A2为“至少有一次出现正面”， 求 P (A1 ), P (A2 )。 第一章 概率论的基本概念 等可能概型 返回主目录 * 解：根据上一节的记号，E2 的样本空间 S2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT}, n = 8，即 S2 中包含有限个元素，且由对称性 知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。 ? A1为“恰有一次出现正面”， A1={HTT, THT, TTH}, 第一章 概率论的基本概念 等可能概型 返回主目录 * ? 事件 A2为“至少有一次出现正面”， A2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH } 第一章 概率论的基本概念 等可能概型 返回主目录 * 例 2 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只 红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考 虑两种取球方式： 放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放 回袋中， 搅匀后再取一球。 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二 次从剩余的球 中再取一球。 分别就上面两种方式求： 1）取到的两只都是白球的概率； 2）取到的两只球颜色相同的概率； 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。 第一章 概率论的基本概念 等可能概型 返回主目录 * 解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。 设 A= “ 取到的两只都是白球 ”， B= “ 取到的两只球颜色相同 ”， C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。 有放回抽取: 第一章 概率论的基本概念 等可能概型 返回主目录 * 无放回抽取: 第一章 概率论的基本概念 等可能概型 返回主目录 * 例 3 将 n 只球随机的放入 N (N ? n) 个盒子中去， 求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。 解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有 而每个盒子中至多放一只球, 共有 第一章 概率论的基本概念 等可能概型 返回主目录 * 此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出： “在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为 99.7%。 n p 20 23 30 40 50 64 100 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997 经计算可得下述结果： 第一章 概率论的基本概念 等可能概型 返回主目录 * 例4 设有 N 件产品，其中有 D 件次品，今从中任 取 n 件，问其中恰有 k ( k ? D ) 件次品的概率是多少? 又 在 D 件次品中取 k 件，所有可能的取法有 在 N-D 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有 解：