7-4空间的平面与直线.PDF

6-3 1 7-4空间的平面与直线 n 空间平面及其方程 n 空间直线及其方程 6-3 2 平面的一般方程 Ax + By + Cz + D = 0 为平面的一般方程 其中A, B, C, D 为常数,而且不全为0 三维空间的平面 系数不全为0的三元一次方程 z o y x 6-3 3 平面一般方程的几种特殊情况 Ax + By + Cz + D = 0 (1) D = 0, 平面通过坐标原点； D = 0, 平面通过 轴； x (2) A = 0, x D „ 0, 平面平行于 轴； 类似地可讨论B = 0, C = 0 情形. (3) A = B = 0, xoy 平面平行于 坐标面； 类似地可讨论A = C = 0, B = C = 0 情形. 6-3 4 例题1(求平面方程) 求过x 轴和点(4,-3,-1)的平面的方程 解：待定系数法 （请注意平面的特征） 平面的一般方程为 Ax + By + Cz + D = 0 过x 轴 By + Cz = 0 过点(4,-3,-1) -3B - C = 0 C = -3 B By + (-3B )z = 0 所以所求平面方程为 y - 3z = 0 注意 B „ 0 而且形式上平面方程不唯一 6-3 5 例题2(求平面方程) 求平行z 轴而且过点M (1, 0, 0), M (0, 1, 0)的平面的方程 1 2 解 求平行z 轴 Ax + By + D = 0 ： A + D = 0 过点M (1, 0, 0), M (0,1, 0) 1 2 B + D = 0 \A = B = -D 平面方程为 x + y - 1 = 0 6-3 6 平面的截距式方程 设平面与x , y , z 三轴分别交于P (a,0,0) 、 Q(0,b,0) 、R (0,0, c) （其中a „ 0 ，b „ 0 ，c „ 0 ）， 求此平面方程. 解 设平面为Ax + By + Cz + D = 0, aA + D = 0, 将三点坐标代入得 bB + D = 0,