2011年上海市高考数学试题(理)答案.doc

2011年上海市高考数学试题（理科 2011-6-7） 一、填空题（56分） 1.函数的反函数为 2.若全集，集合，则 3.设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则 4.不等式的解为或 5.在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为 6.在相距2千米的、两点处测量目标，若，则、两点之间的距离是千米。 7.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为 8.函数的最大值为 9.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表 请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案。 10.行列式（）的所有可能值中，最大的是 11.在正三角形中，是上的点，，则 12.随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到）。 13.设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 14.已知点、和，记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；依次下去，得到点，则 二、选择题（20分） 15.若，且，则下列不等式中，恒成立的是〖答〗（ D ） (A) ； （B） ； （C） ； （D） 16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为〖答〗（ A ） （A）； （B）； （C）； （D） 17.设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为〖答〗（ B ） （A）0； （B）1； （C）5； （D）10 18.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为〖答〗（ D ） （A）是等比数列； （B）或是等比数列； （C）和均是等比数列； （D）和均是等比数列，且公比相同. 三、解答题（74分） 19.（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。 解： ………………（4分） 设，则，…（12分） ∵ ，∴ ………………（12分） 20.（12分）已知函数，其中常数满足。 ⑴ 若，判断函数的单调性； ⑵ 若，求时的取值范围。 解：⑴ 当时，任意，则 ∵ ，， ∴ ，函数在上是增函数。 当时，同理，函数在上是减函数。 ⑵ 当时，，则； 当时，，则。 21.（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点。⑴ 设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为。求证：； ⑵ 若点到平面的距离为，求正四棱柱的高。 解：设正四棱柱的高为。 ⑴ 连，底面于，∴ 与底面所成的角为，即 ∵ ，为中点，∴，又， ∴ 是二面角的平面角，即 ∴ ，。 ⑵ 建立如图空间直角坐标系，有 设平面的一个法向量为， ∵ ，取得 ∴ 点到平面的距离为，则。 22.（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。 ⑴ 求； ⑵ 求证：在数列中、但不在数列中的项恰为； ⑶ 求数列的通项公式。 解：⑴ ； ⑵ ① 任意，设，则，即 ② 假设（矛盾），∴ ∴ 在数列中、但不在数列中的项恰为。 ⑶ ， ，， ∵ ∴ 当时，依次有，…… ∴ 。 23、（18分）已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。 ⑴ 求点到线段的距离； ⑵ 设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积； ⑶ 写出到两条线段距离相等的点的集合，其中， 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。 ① 。 ② 。 ③ 。 解：⑴ 设是线段上一点，则 ，当时，。 ⑵ 设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系， 则，点集由如下曲线围成 ， 其面积为。 ⑶ ① 选择， ② 选择。 ③ 选择。 2