双曲线的性质和应用.doc

双曲线的性质及应用 　 教学目标 ()知识教学点 使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征． ()能力训练点 在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力． ()学科渗透点 使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题． (解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明．) 教学难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证． (解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．) 教学疑点：双曲线的渐近线的证明． (解决办法：通过详细讲解．) 活动设计 提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结． 教学过程 ()复习提问引入新课 1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的． 2 再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x 下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质． ()类比联想得出性质(性质1～3) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格()．见下页 (三)问题之中导出渐近线(性质4) 在学习椭圆时，以原点为中心，2a2b为邻边的矩形，对于估计 仍以原点为中心，2a2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想． 接着再提出问题：当ab为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？ 下面，我们来证明它： 双曲线在第一象限的部分可写成： 当x|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON． 在其他象限内也可以证明类似的情况． 现在来看看实轴在yy轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字 母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将xy字 这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精 再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线． ()顺其自然介绍离心率(性质5) 由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响： 变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔． 这时，教师指出：焦点在y (五)练习与例题 1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正． 由此可知，实半轴长a=4b=3． 焦点坐标是(0-5)，(0，5)． 本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结． 解：设dM到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合： 化简得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 这就是双曲线的标准方程． 由此例不难归纳出双曲线的第二定义． ()双曲线的第二定义 1．定义(由学生归纳给出) 平面内点Me= 叫做双曲线的准线，常数e 2．说明 (七)小结(由学生课后完成) 将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结． 五、布置作业 1e和渐近线方程． (1)16x2-9y2=144； (2)16x2-9y2=-144． 2．求双曲线的标准方程： (1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上； (2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上； 曲线的方程． 点到两准线及右焦点的距离． 作业答案： 距离为7