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第九章 振动学基础 §9.1 简谐振动 一、简谐振动的动力学描述 1、谐振动的受力特征 谐振动的动力学定义：振动系统在与位移大小成正比，而方向相反的回复力作用下的运动称为简谐振动。 式中，k为比例系数。 2、简谐振动的微分方程 设振动物体的质量为m，根据牛顿第二定律有： 令： 则： 二、简谐振动的运动学描述 1、谐振动的数学表达式——运动方程 根据微分方程理论 的解为： 谐振动的运动学定义：位移按余弦规律移随时间变化的运动是谐振动。 A、φ为积分常数。 【例】：若t=0时，，求A、φ。 【解】： 2、简谐振动的三个特征量 振幅——由振动系统的能量决定 表示振动物体离开平衡位置的最大距离。 角频率、频率、周期——由振动系统的性质决定 角频率： 周期： 频率： 初相——由起始时刻的选取决定 如在位移正最大值时开始计时，φ=0 在平衡位置处开始计时φ=±π/2 例1、证明单摆的振动为谐振动，并求其振动周期。 证明： 当作微振动时θ很小 故单摆的振动为谐振动，其振动微分方程为： 角频率： 周期： 【例2】、半径为R的木球静止浮于小面上时，其体积的一半浸于水中，求（1）木球振动的微分方程，（2）木球在什么条件下作简谐振动，振动周期为多少？ 【解】：以平衡位置为坐标原点，当木球从平衡下移位移x时，浸入水中的体积增加： 木球所受的合力： 由牛顿第二定律： 平衡位置时：，故 些即木球的运动微分方程。 当时， 木球作简谐振动 三、简谐振动的旋转矢量表示 1、旋转矢量 作匀速率圆周运动的物体在圆周的任一直经上的投影点的运动，就是一简谐振动。 绕固定点O以一定角速度ω逆时针旋转的矢量称为旋转矢量。 2、旋转矢量与谐振动的关系 旋转矢量的端点在圆周的直经——x轴上的投影点的的运动为谐振动。 振幅A——的模。 角频率ω——的角速度。 位相ωt+φ——与x轴的夹角。 3、谐振动的位相ωt+φ 位相 当A和ω一定时，简谐振动的运动状态（位移、速度、加速度）完全由ωt+φ确定，称ωt+φ为简谐振动的位相。 而t=0时的相位φ称为简谐振动的初相。 如 ，若弹簧振子的位相为π/2，则振动物体的运动情况是物体通过平衡位置且沿负方向运动 位相差 设有两个谐振动 位相差： 【例】：作谐振动的物体，其振幅为A，在起始时刻质点的位移为（1/2）A，且沿x轴正方向运动。画出代表该谐振动的旋转矢量图。 简谐振动的能量 作简谐振动的弹簧振子，其运动方程为： 动速度为： 动能和势能分别为： 机械能为： 可见，弹簧振子的动能和势能按正弦或余弦的平方随时间作周期性变化，当动能最大时，势能最小；当动能最小时，势能最大；但机械能保持恒定不变。 【例】：如图，。求单摆左右两方振幅之比。 【解】：单摆的能量守恒，故 而：，所以 【例】：在弹簧下挂的法码时，弹簧伸长。现在弹簧下挂的物体构成弹簧振子。把物体从平衡位置向下拉动，并给以向上的初速度（此时开始计时），选x轴的正方向向下，求谐振子的运动方程。 【解】：以平衡位置为坐标原点，设运动方程为： 求角频率ω 由胡克定律： 由初始条件求A、φ 因物体沿x轴负方向运动，由旋转矢量图，取： 求运动方程 §9.2简谐振动的合成 一、同振动方向、同频率的简谐振动的合成 设在x方向有两个同频率的简谐振动： 1、解析法 根据运动迭加原理： 式中： 2、旋转矢量法 ： ： ： 由图知： 3、结论 两个同方向同频率的简谐振动的合振动仍然是简谐振动，其振幅和初相由分振动的振幅及初相决定。 4、讨论 当时， 振动加强A=│A1+A2│。 当时， 振动减弱A=│A1-A2│。 二、同振动方向、不同频率的简谐振动的合成 拍现象 设在x方向有两个不同频率的简谐振动，其振动频率分别为：ω1和ω2，振幅均为A，初相均为0，振动表达式分别为： 其合振动为： 结论 两个同方向不同频率的简谐振动的合振动不是简谐振动。 讨论 如果两个分振动的频率ω1和ω2很大，且相近时：ω1≈ω2则： 此时，合振动的位移随时间的变化主要由COS【2π（ν2+ν1）/2】决定，但振幅2A COS【2π（ν2-ν1）/2】随时间作绶慢的周期性变化，出现振动忽强忽弱和情况。 拍现象：频率都较大但相差很小的两个同方向振动合成时所产生的合振动忽强忽弱的现象。 拍频：单位时间内出现最大振幅的次数叫拍频， 三、互相垂直的简谐振动的合成 李萨茹图形 当质点同时参与两个互相垂直的振动时，合振动质点的轨迹可能有各种形式，轨迹的形状是由两个分振动的周期、振幅和位相差决定的。 设在x方向和y方向有两个同频率的