天水师范学院2002004学年-天水师范学院欢迎你.DOC
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天水师范学院高等代数
第二学期 样题 A
题 目 一 二 三 四 五 总 分 得 分 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案,并将其号码填入题后的括号内,每小题3分,共24分)
1、下列子集( )作成向量空间Rn的子空间。
A. B.
C. D.
2、下列向量组( )是线性无关的。
A. B. C.
D.,其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合。
3、以下命题( )不是两个子空间W1与W2的和为直和的等价命题。
A.dim(W1+W2)dimW1且dim(W1+W2)dimW2
B.W1W2=0 C.dim(W1+W2)=dimW1+dimW2
D.若是W1的一个基,是W2的一个基,则,…,为W1+W2的基。
4、令是R3的任意向量,则映射( )是R3的线性变换。
A. B.
C. D.
5、设A,B为同一线性变换关于不同基的矩阵,P、Q为可逆矩阵,则下列( )式成立。
A.PAQ=B B.P-1AP=B C.AP=B D.PAP=B
6、n维欧氏空间中,从一个规范正交基到另一个规范正交基的过渡矩阵为( )。
A.对称矩阵 B.正交矩阵
C.酉矩阵 D.埃尔米特矩阵
7、欧氏空间V的线性变换是对称变换的充要条件是,都有( )成立。
A. B.
C.
D.把V的规范正交基还变成V的规范正交基
8、n元实二次型g(x1,x2,…,xn)正定的充要条件是它与下列二次型( )等价。
A. B.
C. D.
二、填空题(每小题2分,共16分)
1、向量空间V中,a=0的充要条件是 。
2、数域F上任意一个n维向量空间都与 同构。
3、L(V)对于线性变换的加法和数乘作成F上的 。
4、令是V的任一线性变换,则一定有以下不变子空间 。
5、对欧氏空间V中的任意向量有,而且等号成立当且仅当 。
6、欧氏空间V的一组非零向量构成V的一个规范正交组,如果
7、实数域R上的一切n元二次型按二次型的等价关系可以分成
类。
8、如果A是正交矩阵,K为实数,要使KA为正交矩阵,则K等于
。
三、计算题(本题共32分)
1、设F上三维向量空间的线性变换关于基的矩阵。
① 求关于基
的矩阵。
② 设,求关于基的坐标。(10分)
2、对实对称矩阵
求一个正交矩阵U,使AU为对角形矩阵。(12分)
3、对实二次型
用合同变换法将它化为典范形式,并求所用的非退化线性变换。(10分)
四、证明题(28分)
1、设向量可以由线性表示,但不能由线性表示,证明向量组与向量组等价。(10分)
2、设是向量空间V的线性变换,且,证明和都在之下不变。(8分)
3、设A,B为n阶实对称矩阵,若有正交矩阵T,使得T-1AT,T-1BT同为对角形,证明:AB=BA (10分)
答案
一、单项选择题(每小题3分,共24分)
1、B; 2、D; 3、A; 4、B; 5、B; 6、B;
7、C; 8、B。
二、填空题(每小题2分,共16分)
1、a=0或=0; 2、Fn; 3、向量空间;
4、 5、线性相关
6、 7、
8、1或-1
三、计算题(本题共32分)
1、① 关于基的矩阵为
② 关于基的坐标为:(-5,8,0)(本题10分)
2、由
得fA(x)的特征根为-1,-1,5。
属于x=-1的线性无关的特征向量为
正交化单位化为,
属于x= -5的特征向量为(1,1,1),单位化为
取,则 (本题12分)
3、f(x1,x2,x3)的矩阵为
由
取,则
(本题10分)
四、证明题(本题28分)
1、中,否则与不能由表示矛盾。于是。
从而与等价。
2、
。
3、
即
即
故AB=BA。
4
班级: 姓名: 学号:
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